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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 23

Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (23) ∫ c o t g 5 x + csc ⁡ 5 x d x

Passo 1

Questão que envolve trigonometria sempre dá um susto de início e a gente quase entra em desespero. Mas a primeira coisa que a gente precisa pra resolver essas questões é de calma. Vamos olhar a integral que nos foi dada:

f x =   ∫ c o t g 5 x + csc ⁡ 5 x d x = ∫ c o t g 5 x d x + ∫ csc ⁡ 5 x d x

Já conseguimos quebrar ela em duas integrais menores, o que já facilita (e muito) a resolução do problema. Vamos reescrever essass integrais de uma maneira mais amigável. Sabemos da trigonometria (ou a famigerada trigonomagia) que c o t g x = cos ⁡ x / s e n x . Então:

f x = ∫ cos ⁡ 5 x s e n 5 x d x + ∫ csc ⁡ 5 x d x

Passo 2

Vamos resolver cada integral que compõe a f ( x ) separadamente, beleza? Seja h x = ∫ cos ⁡ 5 x s e n 5 x e g x = ∫ csc ⁡ 5 x d x .

Para h ( x ) temos:

h x = ∫ cos ⁡ 5 x s e n 5 x  

Essa integral é mais suave de resolver. Sabemos que a derivada do seno é o cosseno! Logo, o melhor método para resolvê-la é via substituição de variáveis! Vamos fazer u = sen ⁡ 5 x → d u = 5 c o s 5 x d x → d u 5 = c o s 5 x d x . Substituindo esses valores a integral, temos:

h u = 1 5 ∫ d u u

Olha que maravilha ficou essa integral pra resolver! Integrando ela teremos:

h u = 1 5 ln ⁡ u + C

Iniciamos a questão usando a variável x . Para escrever o resultado final, precisamos voltar para ela. Como definimos anteriormente que u = s e n ( 5 x ) , temos:

h x = 1 5 ln ⁡ s e n 5 x + C

Passo 3

Para a g ( x ) temos:

g ( x ) = ∫ csc ⁡ 5 x d x

Essa integral dá um pouco mais de trabalho mas não é um bicho de sete cabeças. A primeira coisa que vamos fazer é um pequeno truque algébrico para resolver essa integral. Vamos multiplicar o denominador e o numerador por csc ⁡ 5 x - c o t g ( 5 x ) .

g x = ∫ c s c ⁡ ( 5 x ) ⋅ csc ⁡ 5 x - c o t g ( 5 x ) csc ⁡ 5 x - c o t g ( 5 x ) d x = ∫ c s c ² 5 x - csc ⁡ 5 x c o t g 5 x csc ⁡ 5 x - c o t g ( 5 x ) d x

Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Seja u = csc ⁡ 5 x - c o t g 5 x → d u = 5 [ - csc ⁡ 5 x c o t g 5 x + c s c ² ( 5 x ) ] d x → d u / 5 = [ - csc ⁡ 5 x c o t g 5 x + c s c ² ( 5 x ) ] d x .

g u = ∫ d u 5 u

Depois da substituição de variável podemos ver que ficou extremamente mais simples do que era! Agora é mole de resolver!

g u = 1 5 ln ⁡ u + C

A gente começou a questão em função de x , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que u = csc ⁡ 5 x - c o t g 5 x , g x = 1 5 ln ⁡ csc ⁡ 5 x - c o t g ( 5 x ) + C

Resposta

O resultado é:

∫ c o t g 5 x + csc ⁡ 5 x d x = 1 5 ln ⁡ s e n 5 x + 1 5 ln ⁡ csc ⁡ 5 x - c o t g 5 x + C

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Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ). ∫ t g 2 x sec 2 ⁡ xd x
Calcule a integral. ∫ c o t g 5 θs e n 4 θd θ
Calcule a integral. ∫ 1 + cos ⁡ θ 2d θ
Calcule a integral. ∫ s e n 3 ( x ) xd x
Calcule a integral. ∫ cos 2 ⁡ xs e n2 xd x