Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 23
Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (23)
Passo 1
Questão que envolve trigonometria sempre dá um susto de início e a gente quase entra em desespero. Mas a primeira coisa que a gente precisa pra resolver essas questões é de calma. Vamos olhar a integral que nos foi dada:
Já conseguimos quebrar ela em duas integrais menores, o que já facilita (e muito) a resolução do problema. Vamos reescrever essass integrais de uma maneira mais amigável. Sabemos da trigonometria (ou a famigerada trigonomagia) que . Então:
Passo 2
Vamos resolver cada integral que compõe a separadamente, beleza? Seja e .
Para temos:
Essa integral é mais suave de resolver. Sabemos que a derivada do seno é o cosseno! Logo, o melhor método para resolvê-la é via substituição de variáveis! Vamos fazer . Substituindo esses valores a integral, temos:
Olha que maravilha ficou essa integral pra resolver! Integrando ela teremos:
Iniciamos a questão usando a variável . Para escrever o resultado final, precisamos voltar para ela. Como definimos anteriormente que , temos:
Passo 3
Para a temos:
Essa integral dá um pouco mais de trabalho mas não é um bicho de sete cabeças. A primeira coisa que vamos fazer é um pequeno truque algébrico para resolver essa integral. Vamos multiplicar o denominador e o numerador por .
Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Seja .
Depois da substituição de variável podemos ver que ficou extremamente mais simples do que era! Agora é mole de resolver!
A gente começou a questão em função de , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que ,
Resposta
O resultado é: