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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 12

Nos exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

12. ∫ sec 5 ⁡ x d x

Passo 1

Nesse tipo de exercício não temos muito o que retirar do enunciado de informações úteis para nossa resolução. Assim, basta aplicarmos as mais diferente técnicas de integração existentes, método de integração por partes ou substituição normal para chegarmos ao resultado desejado.

As vezes será necessário também fazer algumas ‘’jogadinhas’’ matemáticas e correlações com as identidades trigonométricas existentes.

Passo 2

Aplicando a redução de integrais podemos reescrever a integral como:

∫ sec n ⁡ x d x = s e n x sec n - 1 ⁡ ( x ) n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

∫ sec 5 ⁡ x d x = s e n x sec 4 ⁡ ( x ) 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ x d x

Agora o nosso problema se resumiu em calcular qual é ∫ sec 3 ⁡ x d x .

Passo 3

Assim, calculando a integral que está faltando:

∫ sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x . s e c ⁡ ( x ) d x

Para resolver a integral acima, podemos utilizar do método de integração por partes, fazendo o seguinte:

u = sec ⁡ x

d u = sec ⁡ x t g x d x

d v = sec 2 ⁡ x d x

v = t g ( x )

Assim, temos:

∫ u d v = sec ⁡ x . t g x - ∫ t g 2 x sec ⁡ x d x = sec ⁡ x . t g x - ∫ ( sec 2 ⁡ - 1 ) . s e c ⁡ ( x ) d x

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x . t g x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ s e c ⁡ ( x ) d x

∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x . t g x + ∫ s e c ⁡ ( x ) d x

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x . t g x + l n sec ⁡ x + t g x + C

Passo 4

Substituindo o resultado encontrado, teremos:

∫ sec 5 ⁡ x d x = s e n x sec 4 ⁡ ( x ) 4 + 3 4 s e c x . t g x 2 + l n sec ⁡ x + t g x 2 + C

Resposta

∫ sec 5 ⁡ x d x = s e n x sec 4 ⁡ ( x ) 4 + 3 4 s e c x . t g x 2 + l n sec ⁡ x + t g x 2 + C

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