Exercícios de Integrais Trigonométricas - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 129

Ivan, Luciane, Maria Inez, Mykola e Sonia foram encarregados de resolver a integral ∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x . A resolução e a resposta de cada estão abaixo.

Ivan. ∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( 1 - c o s 2 ( x ) ) c o s 3 ( x ) s e n ( x ) d x = - ∫ ( 1 - u 2 ) u 3 d u =

= u 6 6 - u 4 4 + C = c o s 6 ( x ) 6 - c o s 4 ( x ) 4 + C

Luciane. ∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( 1 - s e n 2 ( x ) ) s e n 3 ( x ) c o s ( x ) d x = ∫ ( 1 - u 2 ) u 3 d u =

= u 4 4 - u 6 6 + C = s e n 4 ( x ) 4 - s e n 6 ( x ) 6 + C

Maria Inez. ∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( s e n ( x ) c o s ( x ) ) 3 d x = ∫ ( s e n ( 2 x ) 2 ) 3 d x =

= 1 8 ∫ ( 1 - c o s 2 ( 2 x ) ) s e n ( 2 x ) d x = - 1 16 ∫ ( 1 - u 2 ) d u = u 3 48 - u 16 + C =

c o s 3 ( 2 x ) 48 - c o s ( 2 x ) 16 + C

Mykola. Primeiro observemos que s e n 3 ( y ) = 3   s e n ( y ) - s e n ( 3 y ) 4 . Usando os dois primeiros passos do desenvolvimento da Maria Inez,

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( s e n ( x ) c o s ( x ) ) 3 d x = ∫ ( s e n ( 2 x ) 2 ) 3 d x =

= 1 8 ∫ ( 3   s e n ( 2 x ) - s e n ( 6 x ) 4 ) d x   =   1 32 ∫ ( 3   s e n ( 2 x ) - s e n ( 6 x ) ) d x   = c o s ( 6 x ) 192 - 3 c o s ( 2 x ) 64 + C .

Sonia. Além da expressão apontada pelo Mykola para s e n 3 ( y ) , usaremos também que c o s 3 = 3   c o s ( y )   +   c o s ( 3 y ) 4 . Assim,

∫ s e n 3 ( x ) c o s 3 ( x ) d x = ∫ ( 3   s e n ( x ) - s e n ( 3 x ) 4 ) ( 3   c o s ( x ) + c o s ( 3 x ) 4 ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) + 3   s e n ( x )   c o s ( 3 x )   -   3   c o s ( x )   s e n ( 3 x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) + 3 (   s e n ( x )   c o s ( 3 x )   -   c o s ( x )   s e n ( 3 x ) )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) + 3   s e n ( - 2 x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) - 3   s e n ( 2 x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 9   s e n ( x ) c o s ( x ) - 6   s e n ( x ) c o s ( x )   - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

1 16 ∫ ( 3   s e n ( x ) c o s ( x ) - s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) ) d x =

3 16 ∫   s e n ( x ) c o s ( x ) d x - ∫ s e n ( 3 x )   c o s ( 3 x ) d x = [ U s a n d o   a s   m u d a n ç a s   u = s e n ( x )   e   v = s e n ( 3 x ) ]

3 16 ∫   u d u - 1 48 ∫ v d v = 3 u 2 32 - v 2 96 + C = 3   s e n 2 ( x ) 32 - s e n 2 ( 3 x ) 96 + C

Quem está certo? Todos obtiveram a mesma resposta?

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