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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 25

Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (25) ∫ 2 - 3 s e n 2 x c o s ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Questão com trigonometria sempre dá um susto na gente, não é? Mas não precisamos criar pânico, elas acabam sendo bem tranquilas e legais de resolver. Vamos dar uma olhada na integral que nos fois dada:

f x =   ∫ 2 - 3 s e n 2 x cos ⁡ 2 x d x = ∫ 2 cos ⁡ 2 x d x - ∫ 3 s e n 2 x cos ⁡ 2 x   d x

Já conseguimos quebrar ela em duas integrais menores, o que já facilita (e muito) a resolução do problema. Vamos reescrever essas integrais de uma maneira mais amigável. Lááá trigonometria, a gente tira a seguinte relação:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Assim, vamos substituir essa expressão na nossa integral:

f x = ∫ 2 s e c ⁡ ( 2 x ) d x - ∫ 3 s e n 2 x cos ⁡ 2 x   d x

Passo 2

Vamos resolver cada integral que compõe a f ( x ) separadamente. Seja h x = ∫ 2 s e c 2 x d x e g x = ∫ 3 s e n 2 x c o s ⁡ ( 2 x ) d x .

Para a h ( x ) temos:

h x = ∫ 2 sec ⁡ 2 x d x = 2 ∫ sec ⁡ 2 x d x

Essa integral dá um pouco mais de trabalho mas não é um bicho de sete cabeças. A primeira coisa que vamos fazer é um pequeno truque algébrico para resolver essa integral. Vamos multiplicar o denominador e o numerador por sec ⁡ 2 x + t g ( 2 x ) . Assim:

h x = 2 ∫ sec ⁡ 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x + t g 2 x sec ⁡ 2 x + t g 2 x d x = 2 ∫ s e c 2 x + sec ⁡ 2 x t g 2 x sec ⁡ 2 x + t g 2 x d x

Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição. Seja u = sec ⁡ 2 x + t g 2 x → d u = 2 [ sec ⁡ 2 x t g 2 x + s e c ² ( 2 x ) ] d x → d u / 2 = [ s e c ⁡ ( 2 x ) t g ( 2 x ) + s e c ² ( 2 x ) ] d x .

h u = 2 ∫ d u 2 u

Depois da substituição de variável podemos ver que ficou muito mais simples do que era! Agora é mole de resolver!

h u = 2 2 ln ⁡ u + C

A gente começou a questão em função de x , certo? Então precisamos voltar pra ela! Como definimos lá no início que u = sec ⁡ 2 x + t g 2 x ,

h x = ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g 2 x + C

Passo 3

Vamos agora resolver g x = ∫ 3 s e n 2 x c o s ⁡ ( 2 x ) d x . Essa integral é mais simples de resolver. Sabemos que a derivada do cosseno é menos o seno! Logo, o melhor método para resolvê-la é via substituição de variáveis! Seja u = cos ⁡ 2 x → d u = - 2 s e n 2 x d x → - d u 2 = s e n 2 x d x .

g u = 3 ∫ - 1 2 ⋅ d u u g u = - 3 2 ∫ d u u

Olha que integral show que ficou para a gente resolver! Vambora descobrir o valor dela:

g u = - 3 2 ln ⁡ u + C

Como no passo anterior, a gente começou em função de x , né? Logo, precisamos voltar pra ela! Como u = c o s ⁡ ( 2 x ) , temos:

g x = - 3 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x + C

Resposta

O resultado é:

∫ 2 - 3 s e n 2 x c o s ⁡ ( 2 x ) d x = ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g 2 x + 3 2 l n ⁡ | c o s ⁡ ( 2 x ) | + C

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