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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 34

Nos Exercícios de 26 a 34, calcule a integral definida.

3 4 )   ∫ 0 π 6 s e c ²   x   d x 1 + 9 t g ²   x  

Passo 1

Segundo o Teorema 8.3.1 as integrais das funções trigonométricas são dadas em função de u ² . Sendo assim, podemos colocar a integral em função de algum u ² . Para

∫ 0 π 6 s e c ²   x   d x 1 + 9 t g ²   x  

Podemos assumir que:

u = 3 . t g   x

Se isolarmos t g   x :

u 3 = t g   x

Derivando em ambos os lados:

d u 3 = s e c ²   x   d x

Substituindo e mudando os intervalos de integração:

∫ 0 π 6 s e c ²   x   d x 1 + 9 t g ²   x = ∫ 0 3 3 d u 3 1 + u ² = 1 3 ∫ 0 3 3 d u 1 + u ²

Pelo mesmo Teorema:

1 3 ∫ 0 3 3 d u 1 + u ² = 1 3 [ tg - 1 ⁡ u | 3 3 0 ] + C = 1 3 [ tg - 1 ⁡ 3 3 - tg - 1 ⁡ 0 ] + C

Passo 2

Usando a calculadora:

1 3 tg - 1 ⁡ 3 3 - tg - 1 ⁡ 0 + C = 1 3 [ π 6 - 0 ] = π 18 + C

Resposta

∫ 0 π 6 s e c ²   x   d x 1 + 9 t g ²   x   = π 1 8 + C

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