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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 37

Ache a área da região limitada pelo eixo x, pela curva y = 1 5 - 4 x - x ² e pelas retas x = - 7 2   e   x = - 1 2 .

Passo 1

Desenhando a situação descrita pelo problema:

Então, temos uma área delimitada em cima pela curva y = 1 5 - 4 x - x ² , a direita por x = - 1 2 e a esquerda por x = - 7 2 . Integrando nestas condições:

∫ - 7 2 .   - 1 2 1 5 - 4 x - x ² . d x  

Precisamos transformar o polinômio em um quadrado perfeito:

∫ - 7 2 .   - 1 2 1 9 - ( x 2 + 4 x + 4 ) . d x  

∫ - 7 2 .   - 1 2 1 9 - ( x + 2 ) ² . d x

Passo 2

Podemos resolver a integral segundo o Teorema 8.3.2, onde as integrais das funções trigonométricas são dadas em função de a ²   e   u ² . Sendo assim,

u = x + 2

a = 3

Derivando u: d u = d x

Substituindo:

∫ - 7 2 .   - 1 2 1 9 - ( x + 2 ) ² . d x = ∫ - 7 2 .   - 1 2 d u 3 ² - ( x + 2 ) ²

Pelo mesmo Teorema:

∫ - 7 2 .   - 1 2 d u 3 ² - ( x + 2 ) ² = s e n - 1 x + 2 3 | - 1 2 - 7 2 = s e n - 1 1 2 - s e n - 1 - 1 2

Usando a calculadora:

s e n - 1 1 2 - s e n - 1 - 1 2 = π 6 - ( - π 6 ) = π 3

Resposta

Á r e a = π 3

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