Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 25
Calcule a integral indefinda
Passo 1
Quando temos um polinômio com só um grau maior em cima, a ideia é Dividirmos um pelo outro.
Certo? Mas ainda não temo a divisão certinha, temos que achar um número sobrando de grau menor que
Substituindo na integral:
O primeiro termo a integral vai ser direta, o detalhe vai ser a quela fração.
Passo 2
Quando temos um polinômio com só um grau menor em cima, a ideia é tentarmos fazer uma substituição chamando o denominador de .Vamos ver como ficaria isso
Mas nosso numerador é e não , amos reescrevê-lo da seguinte forma:
Repara que não mudamos, mas substituindo na integra, vamos ter:
A primeira interal resolvemos direito com substituição simples, a segunda é aauqele que temos que tentar achar a integral da trigonométrica inversa.
Passo 3
Vamos começar com:
Vamos fazer
A integral vai ficar:
Essa integral, em , é a do
Voltando para
Passo 4
Agora
Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma
Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah
Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:
Primeiro colocamos em evidência o em
Vamos olhar só para , ele deve ficar parecido com .
Comaprando, teremos
Agora, temos que somar e subtrair que achamos da equação original
Organizando
A nossa integral fica:
Passo 5
Com aquela integral:
Como temos um no denominador e no numerador, aqui vamos só chamar o denominador
Vamos fazer a substituição
Além disso:
A nossa integral em vai ser:
Essa integral em é a , então teremos:
Voltando para :
Passo 6
Juntando tudo que achamos, vamos ter: