Calcule a integral indefinda

∫ 2 x 3 d x 2 x 2 - 4 x + 3

Passo 1

∫ 2 x 3 d x 2 x 2 - 4 x + 3

Quando temos um polinômio com só um grau maior em cima, a ideia é Dividirmos um pelo outro.

2 x 3 = x 2 x 2 - 4 x + 3 + 4 x 2 - 3 x

Certo? Mas ainda não temo a divisão certinha, temos que achar um número sobrando de grau menor que 2

2 x 3 = x 2 x 2 - 4 x + 3 + 2 2 x 2 - 4 x + 3 - 3 x + 8 x - 6

2 x 3 = x + 2 2 x 2 - 4 x + 3 + 5 x - 6

Substituindo na integral:

∫ 2 x 3 d x 2 x 2 - 4 x + 3 = ∫ x + 2 2 x 2 - 4 x + 3 + 5 x - 6 d x 2 x 2 - 4 x + 3 =

∫ x + 2 + 5 x - 6 2 x 2 - 4 x + 3 d x

O primeiro termo a integral vai ser direta, o detalhe vai ser a quela fração.

Passo 2

∫ 5 x - 6 2 x 2 - 4 x + 3 d x

Quando temos um polinômio com só um grau menor em cima, a ideia é tentarmos fazer uma substituição chamando o denominador de a .Vamos ver como ficaria isso

2 x 2 - 4 x + 3 = y → 4 x - 4 d x = d y → 4 x - 1 d x = d y

Mas nosso numerador é 5 x - 6 e não x - 1 , amos reescrevê-lo da seguinte forma:

5 x - 6 = 5 x - 5 - 1 = 5 x - 1 - 1  

Repara que não mudamos, mas substituindo na integra, vamos ter:

∫ 5 x - 6 2 x 2 - 4 x + 3 d x = ∫ 5 x - 1 - 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x

∫ 5 x - 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x - ∫ 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x

A primeira interal resolvemos direito com substituição simples, a segunda é aauqele que temos que tentar achar a integral da trigonométrica inversa.

Passo 3

Vamos começar com:

∫ 5 x - 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x

Vamos fazer

2 x 2 - 4 x + 3 = a → 4 x - 1 d x = d a → x - 1 d x = d a 4

A integral vai ficar:

∫ 5 x - 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x = ∫ 5 4 d a a = 5 4 ∫ d a a

Essa integral, em a , é a do ln ⁡  

5 4 ∫ d a a = 5 4 ln ⁡ a + C

Voltando para x

5 4 ln ⁡ 2 x 2 - 4 x + 3 + C

Passo 4

Agora

∫ 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

a 2 + 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

2 x 2 - 4 x + 3

Primeiro colocamos em evidência o 2 em 2 x 2 - 4 x

2 x 2 - 4 x + 3 = 2 x 2 - 2 x + 3

Vamos olhar só para x 2 - 2 x , ele deve ficar parecido com a 2 - 2 a b + b 2 .

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

x 2 - 2 x

Comaprando, teremos

a = x

b = 1

Agora, temos que somar e subtrair b 2 que achamos da equação original

2 x 2 - 2 x + 1 + 3 - 2 1

Organizando

2 x 2 - 2 x + 1 + 3 - 2 1 = 2 x - 1 2 + 1

A nossa integral fica:

∫ 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x = ∫ 1 2 x - 1 2 + 1 d x

Passo 5

Com aquela integral:

∫ 1 2 x - 1 2 + 1 d x

Como temos um a 2 + 1 no denominador e a no numerador, aqui vamos só chamar o denominador

Vamos fazer a substituição

2 x - 1 2 = a 2

a = 2 x - 1 → d a = 2 d x → d x = d a 2

Além disso:

A nossa integral em a vai ser:

∫ 1 2 x - 1 2 + 1 d x = ∫ d a 2 a 2   + 1 = 1 2 ∫ d a a 2   + 1

Essa integral em a é a tg - 1 ⁡ a , então teremos:

1 2 ∫ d a a 2   + 1 = 1 2 tg - 1 ⁡ a + C

Voltando para x :

1 2 tg - 1 ⁡ a + C = 1 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 + C

Passo 6

Juntando tudo que achamos, vamos ter:

∫ x + 2 + 5 x - 6 2 x 2 - 4 x + 3 d x = ∫ x + 2 d x + ∫ 5 x - 6 2 x 2 - 4 x + 3 d x

∫ x + 2 d x + ∫ 5 x - 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x - ∫ 1 2 x 2 - 4 x + 3 d x

x 2 2 + 2 x + 5 4 ln ⁡ 2 x 2 - 4 x + 3 - 1 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 + C

Resposta

x 2 2 + 2 x + 5 4 ln ⁡ 2 x 2 - 4 x + 3 - 1 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 + C

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