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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 14

Nos exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

14. ∫ sec 4 ⁡ l n x d x x

Passo 1

Nesse tipo de exercício não temos muito o que retirar do enunciado de informações úteis para nossa resolução. Assim, basta aplicarmos as mais diferente técnicas de integração existentes, método de integração por partes ou substituição normal para chegarmos ao resultado desejado.

As vezes será necessário também fazer algumas ‘’jogadinhas’’ matemáticas e correlações com as identidades trigonométricas existentes.

Passo 2

Assim, temos que a integral dada pode ser resolvida como:

∫ sec 4 ⁡ l n x d x x

Fazendo uma substituição simples, com u = l n x , vem:

d u = 1 x d x

Logo, a integral pode ser reescrita como:

∫ sec 4 ⁡ l n x d x x = ∫ sec 4 ⁡ u d u

Passo 3

Assim, calculando a integral que está faltando teremos:

∫ sec 4 ⁡ u d u = ∫ sec 2 ⁡ u . sec 2 ⁡ u d u = ∫ sec 2 ⁡ u 1 + t g 2 u d u

Aplicando integração por substituição simples chamando a = t g ( u ) , então :

d a = sec 2 ⁡ u d u

∫ sec 2 ⁡ u 1 + t g 2 u d u = ∫ 1 + a 2 d a = a + a 3 3 + C

Substituindo na equação a = t g u :

t g u + 1 3 t g 3 u + C

Substituindo na equação u = l n ⁡ ( x ) :

t g l n x + 1 3 t g 3 l n x + C

∫ sec 4 ⁡ l n x d x x = t g l n x + 1 3 t g 3 l n x + C

Resposta

∫ sec 4 ⁡ l n x d x x = t g l n x + 1 3 t g 3 l n x + C

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