Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 38
Ache o comprimento do arco da parábola de a .
Passo 1
Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva em um intervalo .
Essa é a fórmula.
Passo 2
Precisamos de e do intervalo de integração para montar a integral.
Se , então .
Já o intervalo de integração será de até , abscissas dos pontos dados no enunciado.
Sendo assim, o comprimento será dado por:
Passo 3
Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.
Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.
Como nós temos a expressão , isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.
Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser .
Passo 4
Façamos então a substituição:
Dessa forma, .
Passo 5
Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável . Seja então:
Substituindo tudo na integral e desenvolvendo, temos:
Agora, para resolver essa integral, nós podemos utilizar integração por partes ou a fórmula de redução:
Ficamos então, com:
Dessa forma, utilizando a integral , temos:
Prontinho!
Passo 6
Agora vamos resolver a definida substituindo a primitiva acima.
Sabemos da integral definida que:
Em que é uma primitiva de .
Este é o resultado, mas vamos simplificar usando a relação:
Ficamos então com:
Sendo assim, o comprimento é