Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare sua resposta com o valor da integral reproduzido pela sua calculadora.

y = ln(x), 1 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Essa questão pede para calcularmos o comprimento da curva usando o método numérico de Simpson e comparar o resultado com o valor calculado por uma calculadora gráfica.

Vamos escrever primeiro a expressão para o comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, derivando y :

y ' = ln ⁡ x + x ⋅ 1 x = 1 + ln ⁡ x

Portanto,

1 + y ' 2 = 1 + 1 + ln ⁡ x 2

Desta forma, o comprimento da curva será

L = ∫ 1 3 1 + 1 + ln ⁡ x 2   d x

Passo 2

Calcular essa integral na mão é uma coisa bastante complicada, ainda bem que só precisamos fazer isso numericamente usando o método de Simpson. A expressão para a regra de Simpson apresentada na seção 7.7 do livro com n = 10 é

∫ a b f x   d x ≈ Δ x 3   f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x 8 + 4 f x 9 + f x 10

onde Δ x = ( b - a ) / 10 .

No nosso caso, Δ x = 2 10 = 1 5 . Assim,

L ≈ 1 15 f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 1 + 4 f 3 2 + … + 2 f 4 + 4 f 9 2 + f 10

onde f x = 1 + 1 + ln ⁡ x 2 .

Fazendo essa conta em uma planilha, obtêm-se L ≈ 3,869618 .

Passo 3

Fazendo a conta exata com uma calculadora gráfica, obtive L = 3,86962 . Note que o erro é da ordem de 10 - 4 % .

Resposta

L = 3,86962

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Encontrar o comprimento da curva dada.y = 5 x - 2 , - 2 = x = 2
Encontrar o comprimento da curva dada.y = 1 / 4 * x^4 + 1 / 8 * x^2, 1 ≤ x ≤ 2
20. y = raiz(x), 2 = x = 4
18. y = e^x dP_0(0, 1) ate P_1(2, e^2)
16. y = 1 / x de P_0(1/4, 4) ate P_1(4, 1/4)