Encontrar o comprimento da curva dada.

x^(2/3) + y^(2/3) = 2^(2/3)

Passo 1

Aqui a gente vai ter que parametrizar antes. Vamos fazer assim:

{[[x = 2 cos^3 t],[y = 2 s e n^3 t]])

Aí nesse a gente caso a gente calcula o comprimento assim:

L = int_(t_0)^(t_1) sqrt((x^' (t))^2 + (y^' (t))^2 d t)

Passo 2

Vamos derivar a parametrização então:

x^' = - 6 cos^2 t s e n t

y^' = 6 s e n^2 t cos t

O intervalo vai ser onde tanto o seno quanto o cosseno são positivos. Ou seja, de 0 a (pi)/(2) .

Agora a gente aplica na fórmula do comprimento...

L = 4 int_0^((pi)/(2)) sqrt((- 6 cos^2 t s e n t)^2 + (6 s e n^2 t cos t)^2) d t

L = 4 int_0^((pi)/(2)) sqrt(36 cos^4 s e n^2 t + 36 s e n^4 t cos^2 t) d t

L = 4 int_0^((pi)/(2)) sqrt(36 s e n^2 cos^2 t (cos^2 t + s e n^2 t)) d t

L = 4 int_0^((pi)/(2)) sqrt(36 s e n^2 t cos^2 t) d t

L = 4 int_0^((pi)/(2)) 6 s e n t cos t d t

L = 24 [(s e n^2 t)/(2)]_0^((pi)/(2))

L = 24 * (1)/(2) = 12 u . c .

Pronto! Esse é o comprimento😉

Resposta

L = 12 u . c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados