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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 4

Encontrar o comprimento da curva dada.

x^((2)/(3)) + y^((2)/(3)) = 2^((2)/(3))

Passo 1

Aqui a gente vai ter que parametrizar antes. Vamos fazer assim:

{[[x = 2 cos^3 t],[y = 2 s e n^3 t]])

Aí nesse a gente caso a gente calcula o comprimento assim:

L = int_(t_0)^(t_1) sqrt((x^' (t))^2 + (y^' (t))^2 d t)

Passo 2

Vamos derivar a parametrização então:

x^' = - 6 cos^2 t s e n t

y^' = 6 s e n^2 t cos t

O intervalo vai ser onde tanto o seno quanto o cosseno são positivos. Ou seja, de 0 a (pi)/(2) .

Agora a gente aplica na fórmula do comprimento...

L = 4 int_0^((pi)/(2)) sqrt((- 6 cos^2 t s e n t)^2 + (6 s e n^2 t cos t)^2) d t

L = 4 int_0^((pi)/(2)) sqrt(36 cos^4 s e n^2 t + 36 s e n^4 t cos^2 t) d t

L = 4 int_0^((pi)/(2)) sqrt(36 s e n^2 cos^2 t (cos^2 t + s e n^2 t)) d t

L = 4 int_0^((pi)/(2)) sqrt(36 s e n^2 t cos^2 t) d t

L = 4 int_0^((pi)/(2)) 6 s e n t cos t d t

L = 24 [(s e n^2 t)/(2)]_0^((pi)/(2))

L = 24 * (1)/(2) = 12 u . c .

Pronto! Esse é o comprimento😉

Resposta

L = 12 u . c

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14. x^2 = y^3 d e P_0 (0 , 0) a t é P_1 ( 8 , 4 ) é .
11. y = 4 sqrt(x^3) + 2 d e P_0 (0,2) a t é P_1 ( 1,6 ) é .
13. (y - 1)^2 = (x + 4)^3 d e P_0 (- 3,2) a t é P_1 ( 0,9 ) é .
8.y = ln x , sqrt(3) = x = sqrt(8)
7.y = (1)/(2) (e^x + e^(- x)) d e (0,1) a ( 1 , (e^x + e^(- 1))/(2) )