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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 15

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 3 w 4 ln 2 ⁡ w + 9   d w

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 3 w 4 ln 2 ⁡ w + 9   d w

No teorema 9.8.4 desta seção do livro, é dado que

∫ 1 a 2 + u 2   d u = s e n h - 1 u a + C = ln ⁡ u + a 2 + u 2 + C

Todavia, note que a integral que queremos calcular é um pouco diferente da fórmula. Mas observe que se chamarmos t = ln ⁡ w , temos que

d t = 1 w d w

Assim,

I = 3 ∫ 1 4 t 2 + 9   d t = 3 ∫ 1 2 t 2 + 9   d t

Assim, fazendo u = 2 t , temos que

I = 3 2 ∫ 1 u 2 + 9   d u

Agora chegamos na integral da fórmula!

Passo 2

Portanto, usando a = 3 na expressão do teorema 9.8.4, temos que

I = 3 2 s e n h - 1 u 3 + C = 3 2 ln ⁡ u + u 2 + 9 + C

Agora só precisamos voltar para a variável w : u = 2 t = 2 ln ⁡ w :

I = 3 2 s e n h - 1 2 ln ⁡ w 3 + C = 3 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ w + 4 ln 2 ⁡ w + 9 + C

Resposta

3 2 s e n h - 1 2 ln ⁡ w 3 + C = 3 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ w + 4 ln 2 ⁡ w + 9 + C

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