Encontrar o comprimento da curva dada.

y = x^(2/3) - 1, 1 <= x <= 2

Passo 1

Bom, pra achar comprimento de curva a gente usa a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2

Então vamos derivar nossa função primeiro...

y ' = 2 3 x - 1 3

Aí a gente pode aplicar na fórmula de uma vez:

L = ∫ 1 2 1 + 2 3 x - 1 3 2   d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral agora:

L = ∫ 1 2 1 + 4 9 x 2 3   d x

L = ∫ 1 2 9 x 2 3 + 4 9 x 2 3 d x

L = ∫ 1 2 1 3 ∙ x - 1 3 9 x 2 3 + 4 1 2 d x

L = 1 3 ∙ 1 6 ∫ 1 2 9 x 2 3 + 4 1 2 ∙ 6 ∙ x - 1 3     d x

L = 1 18 9 x 2 3 + 4 3 2 3 2 1 2

L = 1 18 ∙ 2 3 9 x 2 3 + 4 3 2 - 13 3 2

L = 1 27 9 ∙ 2 2 3 + 4 3 2 - 13 1 3   u . c .

Prontinho! Esse é o comprimento da curva pedida😉

Resposta

L = 1 27 9 ∙ 2 2 3 + 4 3 2 - 13 1 3   u . c

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