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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 2

Encontrar o comprimento da curva dada.

y = x^((2)/(3)) - 1 , 1 <= x <= 2

Passo 1

Bom, pra achar comprimento de curva a gente usa a fórmula:

L = int_a^b sqrt(1 + f^' (x)^2)

Então vamos derivar nossa função primeiro...

y^' = (2)/(3) x^(- (1)/(3))

Aí a gente pode aplicar na fórmula de uma vez:

L = int_1^2 sqrt(1 + ((2)/(3) x^(- (1)/(3)))^2) d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral agora:

L = int_1^2 sqrt(1 + (4)/(9 x^((2)/(3)))) d x

L = int_1^2 sqrt((9 x^((2)/(3)) + 4)/(9 x^((2)/(3)))) d x

L = int_1^2 (1)/(3) * x^(- (1)/(3)) (9 x^((2)/(3)) + 4)^((1)/(2)) d x

L = (1)/(3) * (1)/(6) int_1^2 (9 x^((2)/(3)) + 4)^((1)/(2)) * 6 * x^(- (1)/(3)) d x

L = (1)/(18) [(9 x^((2)/(3)) + 4^((3)/(2)))/((3)/(2))]_1^2

L = (1)/(18) * (2)/(3) ((9 x^((2)/(3)) + 4)^((3)/(2)) - 13^((3)/(2)))

L = (1)/(27) ((9 * 2^((2)/(3)) + 4)^((3)/(2)) - 13 sqrt(1 3)) u . c .

Prontinho! Esse é o comprimento da curva pedida😉

Resposta

L = (1)/(27) ((9 * 2^((2)/(3)) + 4)^((3)/(2)) - 13 sqrt(1 3)) u . c

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