Ache o comprimento da curva.

y^2 = 4(x + 4)^3 , 0 <= x <= 2 , y > 0

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y 2 = 4 x + 4 3 , no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 , com y > 0 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Onde y ' é a derivada da nossa função e [ a ,   b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que podemos tirar a raiz quadrada nos dois lados da nossa equação, y 2 = 4 x + 4 3 , pra facilitar na hora de integrar. Assim, temos:

y = 2   x + 4 3 / 2

E derivando, ficamos com:

y ' = 3 2 ⋅ 2   x + 4 1 / 2

y ' = 3 x + 4

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + y ' 2 = 9 x + 4

y ' 2 = 9 x + 3 5

Passo 3

Desta forma, o comprimento é dado pela integral:

L = ∫ 0 2 9 x + 3 5   d x

Vamos fazer a mudança de variável u = 3 5 + 9 x ⇒ d u = 9 d x . Assim, d x = d u / 9 . Quando x = 0 , u = 3 5 e para x = 2 , u = 18 + 3 5 = 5 3 . Assim,

L = 1 9 ∫ 36 5 3 u   d u

Integrando em relação a u :

L = 1 9 2 3 u 3 / 2 36 5 3

E aplicando os limites de integração, obtemos:

L = 2 27 ( 5 3 3 / 2 - 36 3 / 2 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 27 ( 5 3 3 / 2 - 36 3 / 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados