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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.1 - Ex. 8

Ache o comprimento da curva.

y^2 = 4 (x + 4)^3 , 0 <= x <= 2 , y > 0

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y^2 = 4 (x + 4)^3 , no intervalo 0 <= x <= 2 , com y > 0 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Onde y^' é a derivada da nossa função e [ a , b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que podemos tirar a raiz quadrada nos dois lados da nossa equação, y^2 = 4 (x + 4)^3 , pra facilitar na hora de integrar. Assim, temos:

y = 2 (x + 4)^(3 // 2)

E derivando, ficamos com:

y^' = (3)/(2) * 2 (x + 4)^(1 // 2)

y^' = 3 sqrt(x + 4)

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + (y^')^2 = 9 (x + 4)

= 9 x + 36

Passo 3

Desta forma, o comprimento é dado pela integral:

L = int_0^2 sqrt(9 x + 36) d x

Vamos fazer a mudança de variável u = 3 6 + 9 x => d u = 9 d x . Assim, d x = d u // 9 . Quando x = 0 , u = 3 6 e para x = 2 , u = 18 + 3 6 = 5 4 . Assim,

L = (1)/(9) int_(3 6)^(5 4) sqrt(u) d u

Integrando em relação a u :

L = (1)/(9) [(2)/(3) u^(3 // 2)]_(3 6)^(5 4)

E aplicando os limites de integração, obtemos:

L = (2)/(27) ( 5 4^(3 // 2) - 3 6^(3 // 2) )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(2)/(27) ( 5 4^(3 // 2) - 3 6^(3 // 2) )

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