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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 16

Encontre d y / d x por derivação implícita.

x + y = 1 + x 2 y 2

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

Nesta questão, temos uma equação que relaciona ( x )   e   ( y ) :

x + y = 1 + x 2 y 2

Para encontrar d y / d x por derivação implícita, seguimos os seguintes passos:

Identificar a variável dependente e a variável independente: Aqui ,   ( y ) é a variável dependente e ( x ) é a variável independente.

Diferenciar ambos os lados da equação com relação a ( x ) : Aplicamos a operação de diferenciação em cada termo da equação em relação a ( x ) . Lembre-se de usar a regra da cadeia sempre que houver uma função de ( y )   envolvida.

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ( x ) :

d d x x + y = d d x 1 + x 2 y 2

Aplicar as regras de derivação:

- Para o lado esquerdo da equação, usamos a regra da cadeia e a regra da derivada da função raiz:

1 2 x + y ⋅ d d x x + y

- Para o lado direito, diferenciamos termo a termo:

0 + 2 x y 2 + x 2 d d x y 2

Isolar d y / d x : Agora, isolamos d y / d x na equação resultante.

Simplificar e resolver para d y / d x : Se possível, simplificamos a expressão resultante e resolvemos para d y / d x

Vamos aplicar esses passos à equação fornecida. Após seguir os passos detalhados, obteremos a derivada d y d x em termos de ( x )   e   ( y ) .

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Assim, pela regra da cadeia, temos que:

f y ' = f ' y ⋅ y '

Derivando a equação x + y 1 / 2 = 1 + x 2 y 2 com relação a x , temos que

1 2 x + y - 1 / 2 ⋅ x + y ' = 2 x ⋅ y 2 + x 2 ⋅ 2 y ⋅ y '

Assim,

1 2 x + y   1 + y ' = 2 x y 2 + 2 x 2 y y '

Multiplicando em cruz:

1 + y ' = 4 x y 2 x + y + 4 x 2 y x + y   y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y '   1 - 4 x 2 y x + y = 4 x y 2 x + y - 1

y ' = 4 x y 2 x + y - 1 1 - 4 x 2 y x + y

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = 4 x y 2 x + y - 1 1 - 4 x 2 y x + y

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