Ache o comprimento da curva.

y = ln(sec(x)), 0 <= x <= pi/4

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = ln ⁡ ( sec ⁡ x ) , no intervalo 0 ≤ x ≤ π / 4 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Onde y ' é a derivada da nossa função e [ a ,   b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função, usando a regra da cadeia:

y ' = 1 sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x '

y ' = 1 sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x tan ⁡ x

Simplificando, temos:

y ' = tan ⁡ x

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + y ' 2 = 1 + tan 2 ⁡ x

E usando a identidade 1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x , temos:

1 + y ' 2 = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Desta forma, o comprimento é dado pela integral:

L = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x   d x

Como no intervalo 0 ≤ x ≤ π / 4 a secante é positiva, segue que sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x . Assim,

L = ∫ 0 π / 4 sec ⁡ x   d x

A primitiva da secante é ln ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) , de modo que

L = ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x 0 π 4

Aplicando os intervalos de integração:

L = ln ⁡ sec ⁡ π 4 + t g π 4 - ln ⁡ ( sec ⁡ 0 + t g   0 )

Por fim,

L = ln ⁡ 1 + 2 - ln ⁡ 1

L = ln ⁡ ( 1 + 2 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ln ⁡ ( 1 + 2 )

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