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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 13

Ache o comprimento da curva.

y = ln ( sec x ) , 0 <= x <= pi // 4

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = ln ( sec x ) , no intervalo 0 <= x <= pi // 4 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Onde y^' é a derivada da nossa função e [ a , b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função, usando a regra da cadeia:

y^' = (1)/(sec x) * (sec x)^'

y^' = (1)/(sec x) * sec x tan x

Simplificando, temos:

y^' = tan x

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + (y^')^2 = 1 + tan^2 x

E usando a identidade 1 + tan^2 x = sec^2 x , temos:

1 + (y^')^2 = sec^2 x

Passo 3

Desta forma, o comprimento é dado pela integral:

L = int_0^(pi // 4) sqrt(sec^2 x) d x

Como no intervalo 0 <= x <= pi // 4 a secante é positiva, segue que sqrt(sec^2 x) = sec x . Assim,

L = int_0^(pi // 4) sec x d x

A primitiva da secante é ln ( sec x + tan x ) , de modo que

L = [ln (sec x + t g x)]_0^((pi)/(4))

Aplicando os intervalos de integração:

L = ln (sec (pi)/(4) + t g (pi)/(4)) - ln ( sec 0 + t g 0 )

Por fim,

L = ln (1 + sqrt(2)) - ln 1

L = ln ( 1 + sqrt(2) )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ln ( 1 + sqrt(2) )

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