Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 1
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são
De a
Passo 1
Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.
Como temos uma função de , a fórmula vai ser:
Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da , que é a função do enunciado.
O intervalo é de até , vamos para a derivada.
Para isso, temos que usar a regra da cadeia, vamos fazer
Onde
Assim, teremos:
Achando a derivada de
Logo:
Passo 2
Agora vamos derivadar
Vamos ter
Passo 3
Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:
Como é sempre positivo, podemos cortsar aquele expoente com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo
Aquele termo dentro da raiz vai ser um trinômio quadrado perfeito
Po, temos que adivinah isso sempre? Não, mas fica aqui a dica. Quando estamos nessas questões de comprimento de arco, é muito comum aparecer trinômios quadrados perfeitos dentro dessa raiz quadrada, então sempre procure esses safadinho.
O comprimento vai ser:
Novamente, como é sempre positivo, podemos cortar a raiz com o quadrado e não colocar o módulo.
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, vamos ver a integral indefinida:
Passo 5
Voltando para a nossa integral definida:
Passo 6
Segue o gráfico dessa função para enxergamos como ela é:
