Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 21
Determine o comprimento a curva
De até
Passo 1
Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.
Como temos uma função de , a fórmula vai ser:
Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da , que é a função do enunciado.
O intervalo é de até , vamos para a derivada.
Para derivar, vamos usar o teorema fundamental do cálculo, encontramos:
Passo 2
Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:
O valor de sempre vai ser positivo no intervalo de integração, podemos cortar aquele expoente com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo
Passo 3
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, vamos ver a integral indefinida:
Para resolver essa integral, vamos lembrar que:
O termo que temos na raiz é:
Assim, nossa integral fica:
Aqui, como estamos com a integral indefinida, precisamos colocar o módulo ao cortar a raiz.
Ai você me pergunta, mas e como fazemos a integral do módulo? Vamos usar uma marotagem aqui. isso vai entrar na integral definida, então tudo que vale lá vai valer nessa também.
O cosseno é sempre positivo de até , então:
Passo 4
Voltando para a nossa integral definida: