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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 14

Ache o comprimento da curva.

y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 <= x <= 1

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a expressão

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Primeiro vamos achar y ' :

y^' = (1)/(2) s e n h 2 x * 2 = s e n h 2 x

Assim, temos que

1 + (y^')^2 = 1 + s e n h^2 2 x

Lembrando que cosh^2 2 x - s e n h^2 2 x = 1 , segue que

1 + (y^')^2 = cosh^2 2 x

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = int_0^1 sqrt(cosh^2 2 x) d x = int_0^1 cosh 2 x d x

A primitiva do cosseno hiperbólico é seno hiperbólico, de modo que

L = [(1)/(2) s e n h 2 x]_0^1 = (1)/(2) s e n h 2 - (1)/(2) s e n h 0 = (1)/(2) s e n h 2

Resposta

(1)/(2) s e n h 2

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