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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 30

Ache o comprimento da hipociclóide:

{[[x = 4 s e n^3 t],[y = 4 cos^3 t]]) , t in [0,2 pi]

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s = int_(t_0)^(t_1) sqrt([x^' (t)]^2 + [y^' (t)]^2) d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t_0 = 0 e t_1 = 2 pi .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x^' = 4 . 3 s e n^2 t xx cos^3 t = 12 s e n^2 t cos t

y^' = 4.3 cos^2 t xx (- s e n^3 t) = - 12 cos^2 t s e n t

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = int_0^(2 pi) sqrt((12 s e n^2 t cos t)^2 + (12 cos^2 t s e n t)^2) d t =

int_0^(2 pi) sqrt(144 s e n^4 t cos^2 t + 144 cos^4 t s e n^2 t) d t = int_0^(2 pi) 12 s e n t cos t d t

Passo 3

Fazendo substituição: u = s e n t => d u = cos t d t

=> 4 int_0^(pi // 2) 12 u d u = 4 . 12 int_0^(pi // 2) [[u d u = 48 (u^2)/(2) |(pi // 2)/(0) = 24 (s e n^2 t)| (pi // 2)/(0)],[]]

Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 4

Aplicando os limites de integração, obtemos:

=> s = 24 (1 - 0) = 24 u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 24 u . c .

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