Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real

1 / (x + 1) < 2 / (3x - 1)

Passo 1

Nessa inequação, vamos usar a estratégia de isolar todo mundo de um lado e depois fazer uma tabela para analisar o sinal de acordo com cada intervalo. Daí os intervalos que satisfizerem a nossa condição formarão o nosso conjunto solução. Por último é só representar esse conjunto solução na reta real e pronto!

Passo 2

Jogando todo mundo pro lado esquerdo da inequação:

1 x + 1 - 2 3 x - 1 < 0

Tirando o MMC:

3 x - 1 x + 1 3 x - 1 - 2 x + 1 x + 1 3 x - 1 < 0

x - 3 x + 1 3 x - 1 < 0

Passo 3

Agora vamos considerar cada intervalo que altera o sinal dos polinômios. Vamos ver para que valores de x os nossos polinômios irão zerar.

Teremos 3 valores de x, 1 para o polinômio do numerador e outros 2 para os dois polinômios do denominador, ficamos com os seguintes valores de x:

x = 3

x =   - 1

x = 1 3

Agora queremos os intervalos onde x - 3 x + 1 3 x - 1 é negativo. Para isso vamos montar uma tabelinha com os sinais de cada equação para os intervalos entre as raízes e nas raízes:

Como queremos que x - 3 x + 1 3 x - 1   seja negativo, os intervalos que queremos são os seguintes:

x < - 1

1 3 < x < 3

Na notação de conjuntos vamos ter a união desses dois intevarlos, ou seja: - ∞ ,   - 1 ∪ ( 1 3 ,   3 ) . Encontramos nosso conjunto solução!

Passo 4

Show de bola! Agora so resta botar nosso conjunto solução na reta real e finalizamos os problema. Na reta real ficamos com:

Resposta

- ∞ ,   - 1 ∪ ( 1 3 ,   3 )

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