Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A1 a (A4) , (M1) a M4 , D , O1 a (O 4) , (OA) e (O M) . Supondo x , y reais quaisquer, prove:

1 > 0

Passo 1

Olá! Para resolver esse exercício vamos utilizar as seguintes propriedades:

  • M 3 ( e x i s t ê n c i a   d o   e l e m e n t o   n e u t r o ): Para qualquer número a
  • a × 1 = 1 × a = a

  • O 4 : Para quaisquer números racionais x e y
  • x ≤ y   o u   x ≥ y

  • O M : Multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo ( z ) , o sentido da desigualdade se mantém. Ou seja,

x ≤ y → z x ≤ z y

Agora vamos aplicar!

Passo 2

Vamos lá, temos que:

1 2 = 1 × 1 = 1

Pela propriedade da existência de elemento neutro M 3 , temos então que 1 ≠ 0 .

Agora temos dois números para comparar, 0   e   1 . Pela propriedade O 4 temos:

1 < 0 ou 1 > 0

Agora precisamos checar qual é a verdadeira!

Passo 3

Vamos supor que 1 < 0 e somar o oposto de 1 aos dois membros:

1 < 0 → 1 + - 1 < 0 + - 1

1 - 1 < - 1

0 < - 1

Pela propriedade O M , ao multiplicamos - 1 de cada lado, ficamos:

0 . - 1 < - 1 - 1

0 < 1 ∙ 1

0 < 1

Obtemos que 0 < 1 .

Agora, supondo 1 > 0 e lembrando novamente da propriedade O M teremos:

1 ∙ 1 > 1 ∙ 0

1 > 0

Chegamos no mesmo lugar, assim fica provado que 1 > 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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