Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A1 a (A4) , (M1) a M(4) , D , O(1) a O(4) , (OA) e (O M) . Supondo x , y reais quaisquer, prove:

x^2 ≥ 0

Passo 1

Seja x um real qualquer, pela propriedade O 4 :

x ≤ 0 ou x ≥ 0

Vamos supor que x ≤ 0 e somar o oposto de x aos dois membros:

x ≤ 0 → x + - x ≤ 0 + - x → x - x ≤ - x → 0 ≤ - x

Pela propriedade O M :

0 ∙ - x ≤ - x - x → 0 ≤ x ∙ x → 0 ≤ x 2

Assim, se x ≤ 0 , teremos x 2 ≥ 0 .

Supondo agora x ≥ 0 e lembrando novamente da propriedade O M teremos:

x ∙ x ≥ x ∙ 0 → x 2 ≥ 0

Assim fica provado que para todo x real, x 2 ≥ 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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