Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 51

Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real

Passo 1

Podemos dividir essa inequação modular em duas inequações:

Deixando todo mundo de um lado na 1ª inequação, ficamos com:

Se nós encontrarmos os valores de para que o lado esquerdo da inequação seja negativo, teremos o nosso conjunto solução!

Isolando todo mundo de um lado na 2ª inequação, ficamos com:

A mesma coisa acontece aqui, mas nesse caso precisamos que o que está do lado esquerdo da inequação seja positivo!

Passo 2

Vamos começar pela 1ª inequação:

Tirando o MMC:

Simplificando:

Dividindo os dois lados por e invertendo o sinal da desigualdade:

Bem melhor né? Agora é só encontrar as raízes do numerador e do denominador e fazer a nossa tabelinha de boinhas.

Passo 3

As raízes serão:

Daí já sabemos que nossos intervalos serão:

Agora montamos a tabelinha pra facilitar nossa vida e nos mostrar os valores positivos da nossa inequação!

Passo 4

Nossa tabelinha fica então:

Como queremos os intervalos onde a nossa equação é positiva, vamos ficar com os intervalos:

Pronto, temos os intervalos para a nossa 1ª inequação! Se não tivéssemos aquele módulo, essa seria a nossa resposta, mas ainda temos que analisar a segunda inequação.

Passo 5

Vamos repetir os mesmos passos para a 2ª inequação:

Tirando o MMC maroto:

Simplificando:

Agora com nossa fração de polinômios podemos encontrar nossas raízes e montar nossa tabelinha de sinais.

Passo 6

Nossas raízes serão:

Daí os nossos intervalos de análise serão:

Obs: não precisamos analisar o valor da nossa equação nas raízes, pois estamos interessados apenas nos valores positivos dela. Se analisássemos as raízes teríamos uma indeterminação e um valor nulo, como aconteceu na análise da 1ª equação. Se o nosso intervalo fosse fechado ou nós teríamos que analisar as raízes.