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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 8

Ache a derivada da função dada.

f (x) = (5 - 2 x^2)^(- 1 // 3)

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a derivada da função usando tudo que já sabemos das regras de derivação incluindo a derivada das funções potência:

(x^r)^' = r x^(r - 1) , s e r != 0

Note que apesar de ser uma raiz cúbica, ela está no denominador:

f (x) = (1)/((5 - 2 x^2)^(1 // 3))

Assim, devemos impor a restrição 5 - 2 x^2 != 0 no domínio da função (e consequentemente se sua derivada). Assim, devemos ter

2 x^2 != 5 => x != +- (sqrt(10))/(2)

Passo 2

Para os valores de x no domínio de f , podemos aplicar as regras de derivação:

f^' (x) = - (1)/(3) * (5 - 2 x^2)^(- (1)/(3) - 1) * (5 - 2 x^2)^' = - ((- 4 x))/(3) * (5 - 2 x^2)^(- (4)/(3))

Portanto,

f^' (x) = (4 x)/(3) (5 - 2 x^2)^(- 4 // 3)

Resposta

f^' (x) = (4 x)/(3) (5 - 2 x^2)^(- 4 // 3)

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