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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 9

Ache a derivada da função dada.

f (x) = a r c s e n sqrt(1 - x^2)

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função. Lembrando a derivada do arco seno:

(a r c s e n x)^' = (1)/(sqrt(1 - x^2))

Desta forma, se usarmos a regra da cadeia:

f^' (x) = (1)/(sqrt(1 - (sqrt(1 - x^2))^2)) * (sqrt(1 - x^2))^'

Passo 2

Como (sqrt(1 - x^2))^' = 1 - x^2 e

(sqrt(1 - x^2))^' = (1)/(2 sqrt(1 - x^2)) (1 - x^2)^' = - (x)/(sqrt(1 - x^2)) ,

segue que

f^' (x) = (1)/(sqrt(1 - 1 + x^2)) * (- (x)/(sqrt(1 - x^2)))

Além disso, como sqrt(1 - 1 + x^2) = sqrt(x^2) = |x| , temos que

f^' (x) = - (x)/(|x| sqrt(1 - x^2))

Resposta

- (x)/(|x| sqrt(1 - x^2))

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