Ache dy / dx

ln((sen^2(3x))) = e^x + cotg^(-1)(y)

Passo 1

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y x

Então quando derivarmos y , temos que colocar = y ' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com ln ⁡ sen 2 ⁡ 3 x , Temos que usar a regra da caideia aqui:

f x = ln ⁡ sen 2 ⁡ 3 x

Assim:

f x = h g w m x

Com

h x = ln ⁡ x

g x = x 2

w x = sen ⁡ x

m x = 3 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f ' x = h ' g w m x g w m x '

f ' x = h ' g w ( m x g ' w m x w m x '

f ' x = h ' g w ( m x g ' w m x w ' m x m ' x  

Temos

g ' x = 1 x

Que é a derivada de tgh - 1 ⁡  

Então

f ' x = 1 g w m x g ' w m x w ' m x m ' x

Passo 2

Vamos achar a derivada de g x

g x = x 2 → g ' x = 2 x

Vamos ter

f ' x = 1 w m x 2 2 w m x w ' m x m ' x

Passo 3

Vamos agora para w x

w x = sen ⁡ x → w ' x = cos ⁡ x

Vamos ficar com:

f ' x = 1 sen ⁡ m x 2 2 sen ⁡ m x cos ⁡ m x m ' x

Passo 4

Vamos agora para m x

m x = 3 x → m ' x = 3

Vamos ficar com:

f ' x = 1 sen ⁡ 3 x 2 2 sen ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x 3

f ' x = 6 sen ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x 2

f ' x = 6 cos ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x = 6 cotg ⁡ 3 x

Passo 5

Vamos para o outro lado

e x + cotg - 1 ⁡ y ' = e x ' + cotg - 1 ⁡ y '

Como:

cotg - 1 ⁡ y ' = - 1 y 2 + 1 y '

Teremos

e x - 1 y 2 + 1 y '

Do lado direito

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

6 cotg ⁡ 3 x = e x - 1 y 2 + 1 y '

Vamos isolar o y '

1 y 2 + 1 y ' = e x - 6 cotg ⁡ 3 x

Vamos passar o y 2 + 1 multiplicando para o outro lado.

y ' = y 2 + 1 e x - 6 cotg ⁡ 3 x

Resposta

y ' = y 2 + 1 e x - 6 cotg ⁡ 3 x

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