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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 28

Ache (d y)/(d x)

ln (sen^2 3 x) = e^x + cotg^(- 1) y

Passo 1

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y (x)

Então quando derivarmos y , temos que colocar = y^' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com ln (sen^2 3 x) , Temos que usar a regra da caideia aqui:

f (x) = ln (sen^2 3 x)

Assim:

f (x) = h (g (w (m (x))))

Com

h (x) = ln x

g (x) = x^2

w (x) = sen x

m (x) = 3 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (x) = h^' (g (w (m (x)))) (g (w (m (x))))^'

f^' (x) = h^' (g (w (( m (x)))) g^' (w (m (x))) (w (m (x)))^'

f^' (x) = h^' (g (w (( m (x)))) g^' (w (m (x))) w^' (m (x)) m^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(x)

Que é a derivada de tgh^(- 1)

Então

f^' (x) = (1)/(g (w (m (x)))) g^' (w (m (x))) w^' (m (x)) m^' (x)

Passo 2

Vamos achar a derivada de g (x)

g (x) = x^2 -> g^' (x) = 2 x

Vamos ter

f^' (x) = (1)/((w (m (x)))^2) 2 (w (m (x))) w^' (m (x)) m^' (x)

Passo 3

Vamos agora para w (x)

w (x) = sen x -> w^' (x) = cos x

Vamos ficar com:

f^' (x) = (1)/((sen (m (x)))^2) 2 (sen (m (x))) cos (m (x)) m^' (x)

Passo 4

Vamos agora para m (x)

m (x) = 3 x -> m^' (x) = 3

Vamos ficar com:

f^' (x) = (1)/((sen (3 x))^2) 2 (sen (3 x)) cos (3 x) 3

f^' (x) = (6 sen (3 x) cos (3 x))/((sen (3 x))^2)

f^' (x) = (6 cos (3 x))/(sen (3 x)) = 6 cotg 3 x

Passo 5

Vamos para o outro lado

(e^x + cotg^(- 1) y)^' = (e^x)^' + (cotg^(- 1) y)^'

Como:

(cotg^(- 1) y)^' = - (1)/(y^2 + 1) y^'

Teremos

e^x - (1)/(y^2 + 1) y^'

Do lado direito

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

6 cotg 3 x = e^x - (1)/(y^2 + 1) y^'

Vamos isolar o y^'

(1)/(y^2 + 1) y^' = e^x - 6 cotg 3 x

Vamos passar o y^2 + 1 multiplicando para o outro lado.

y^' = (y^2 + 1) (e^x - 6 cotg 3 x)

Resposta

y^' = (y^2 + 1) (e^x - 6 cotg 3 x)

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