Enunciado

Ache a derivada da função dada:

f (x) = tgh^(- 1) (sen sqrt(x))

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função hiperbólica inversa com uma trigonométrica e uma raiz, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função hiperbólica inversa (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada:

( tgh^(- 1) x ) ' = (1)/(1 - x^2)

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( tgh^(- 1) u ) ' = (u ')/(1 - u^2)

Passo 2

No nosso exemplo, f (x) = tgh^(- 1) underset(u)(ubrace (sen sqrt(x))) , logo u = sen sqrt(x) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

f' (x) = (tgh^(- 1) (sen sqrt(x))) ' = (( sen sqrt(x) ) ')/(1 - ( sen sqrt(x) )^2) = (( sen sqrt(x) ) ')/(1 - sen^2 sqrt(x))

Passo 3

Agora precisamos da derivada de sen sqrt(x) = sen x^((1)/(2)) .

Devemos lembrar que ( sen x ) ' = cos x , porém temos, no nosso exemplo, x^((1)/(2)) no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia:

( sen x^((1)/(2)) ) ' = ( cos x^((1)/(2)) ) * ((1)/(2) x^((1)/(2) - 1)) = (1)/(2) cos sqrt(x) * x^(- (1)/(2)) = (cos sqrt(x))/(2 sqrt(x))

Aqui foi utilizada a derivada (x^n) ' = n x^(n - 1) com n = (1)/(2) .

Passo 4

Substituindo a derivada ( sen x^((1)/(2)) ) ' = (cos sqrt(x))/(2 sqrt(x)) em:

f' (x) = (( sen sqrt(x) ) ')/(1 - sen^2 sqrt(x)) = ((cos sqrt(x))/(2 sqrt(x)))/(1 - sen^2 sqrt(x)) = (cos sqrt(x))/(2 sqrt(x) ( 1 - sen^2 sqrt(x) ))

Encerramos aqui.

Resposta

f ' ( x ) = (cos sqrt(x))/(2 sqrt(x) ( 1 - sen^2 sqrt(x) ))

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