Encontre a derivada.

f(x) = e^x * cosh(x)

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, nessa questão precisamos derivar a função

f x =   e x cosh ⁡ x

E para fazer isso precisamos olhar para o tipo de função que temos, assim saberemos qual a melhor regra de derivação para esse caso.

E repare que nossa função é formada por uma função e x que está sendo multiplicada por uma função cosh ⁡ x . Sendo para fazer sua derivação podemos usar a regra do produto.

Bora relembrar. Chamando:

u = e x    

v = cosh ⁡ x

Sua derivada será dada por:

u v ' = u ' v + u v '

Então precisamos das funções que chamamos de u e v e de suas derivadas.

Vamos ver isso acontecendo no passo a passo.

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser calcular as derivadas de cada uma das funções. Começando com:

u = e x

Precisamos lembrar que a derivada da exponencial é a própria exponencial. Assim:

u ' = e x

Já para a outra função

v = cosh ⁡ x

Temos aqui uma daquelas derivadas tabeladas, assim basta usarmos o valor:

v ' = s e n h   x

Maravilha.

Passo 3

Agora que temos tudo que precisamos, basta colocar na regra do produto. Sendo:

u v ' = u ' v + u v '

Substituindo, teremos:

f x ' =   e x cosh ⁡ x + e x senh ⁡ x

E colocando e x em evidência, ficamos com:

f x ' =   e x ( cosh ⁡ x + senh ⁡ x )

E prontinho. Essa é nossa derivada.

Resposta

f x ' =   e x ( cosh ⁡ x + senh ⁡ x )

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