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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 25

Calcule a integral indefinida:

int (d t)/(2 t^2 + 3 t + 5)

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Este tipo de integral precisa de uma manipulação na expressão que está no denominador. Precisaremos completar o quadrado para depois usar uma substituição.

Vamos lá, precisamos somar algo para eliminar o termo de grau 1, da seguinte forma:

2 t^2 + 3 t + 5

2 (t^2 + (3)/(2) t + (5)/(2))

Agora eu vou somar b^2 e – b^2 para não alterar a expressão.

2 (t^2 + (3)/(2) t + b^2 - b^2 + (5)/(2))

Para o que está em azul virar (t + b)^2 , eu preciso que o meu b , seja igual ao coeficiente do t , dividido por 2, ou seja, b = (3)/(4) . Sendo assim,

2 (t^2 + (3)/(2) t + ((3)/(4))^2 - ((3)/(4))^2 + (5)/(2))

2 ((t + (3)/(4))^2 - ((3)/(4))^2 + (5)/(2))

2 ((t + (3)/(4))^2 - (9)/(16) + (5)/(2)) = 2 ((t + (3)/(4))^2 - (9)/(16) + (8 * 5)/(16)) = 2 ((t + (3)/(4))^2 - (9)/(16) + (40)/(16))

2 ((t + (3)/(4))^2 + (31)/(16))

Fechou então, vamos trocar a expressão da integral e ir para próxima etapa.

int (d t)/(2 t^2 + 3 t + 5) = int (d t)/(2 ((t + (3)/(4))^2 + (31)/(16)))

Passo 2

Agora vamos deixar essa integral com cara de uma integral conhecida.

int (d t)/(2 ((t + (3)/(4))^2 + (31)/(16))) = (1)/(2) int (d t)/((t + (3)/(4))^2 + (31)/(16))

Primeiro eu vou deixar o (31)/(16) , em evidência.

(t + (3)/(4))^2 + (31)/(16) = (31)/(16) [(16)/(31) (t + (3)/(4))^2 + 1] = (31)/(16) [((4)/(sqrt(31)))^2 (t + (3)/(4))^2 + 1]

= (31)/(16) [((4)/(sqrt(31)) (t + (3)/(4)))^2 + 1]

Ufa! Vamos substituir essa expressão na integral agora:

I = (1)/(2) int (d t)/((t + (3)/(4))^2 + (31)/(16)) = (1)/(2) int (d t)/((31)/(16) [((4)/(sqrt(31)) (t + (3)/(4)))^2 + 1]) = (16)/(2 * 31) int (d t)/(((4)/(sqrt(31)) (t + (3)/(4)))^2 + 1)

Pronto, pessoal. Conseguem perceber que integral é essa? Elá já está quase com cara de integral imediata, vamos continuar.

Passo 3

Vamos efetuar uma substituição na integral para ficar apenas u^2 , no denominador.

I = (8)/(31) int (d t)/(((4)/(sqrt(31)) (t + (3)/(4)))^2 + 1)

Faremos então u = (4)/(sqrt(31)) (t + (3)/(4)) e derivando, temos d u = (4)/(sqrt(31)) d t .

Para ficar melhor, vamos deixar o d t sozinho para trocar a variável da integral.

Sendo assim, d t = (sqrt(31))/(4) d u .

Passo 4

Trocando a variável da integral, ficamos com:

I = (8)/(31) int (((sqrt(31))/(4) d u))/(u^2 + 1) = (8)/(31) * (sqrt(31))/(4) int (d u)/(u^2 + 1) = (2 sqrt(31))/(31) int (d u)/(u^2 + 1)

Opa! Essa integral é imediata.

Passo 5

Resolvendo a integral, ficamos com o seguinte:

I = (2 sqrt(31))/(31) int (d u)/(u^2 + 1) = (2 sqrt(31))/(31) tan^(- 1) u + C

Pois ( tan^(- 1) u ) ' = (1)/(u^2 + 1) .

Passo 6

Agora nós voltamos na variável inicial t .

int (d t)/(2 t^2 + 3 t + 5) = (2 sqrt(31))/(31) tan^(- 1) u + C

Sendo u = (4)/(sqrt(31)) (t + (3)/(4)) , temos:

int (d t)/(2 t^2 + 3 t + 5) = (2 sqrt(31))/(31) tan^(- 1) ((4)/(sqrt(31)) (t + (3)/(4))) + C

Não se esqueça da constante, hein.

Essa integral parece bem complicada, né? Mas não é! O que deu um pouco de trabalho foi manipular a expressão, completar quadrados e tals, a integral, como vocês viram, era imediata.

Resposta

int (d t)/(2 t^2 + 3 t + 5) = (2 sqrt(31))/(31) tan^(- 1) ((4)/(sqrt(31)) (t + (3)/(4))) + C

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