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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 28

Ache dois vetores unitários que façam um ângulo de 60 ° com v = < 3,4 >

Passo 1

Queremos encontrar dois vetores que façam um ângulo de 60 ° com v = < 3,4 > , então vamos chamar esse vetor de a = < x , y > . Usando o produto escalar, sabemos que:

a . v = a v cos ⁡ θ

< x , y > . < 3,4 >   = 1 .   3 2 + 4 2 cos ⁡ 60 °

3 x + 4 y = 5 1 2

6 x + 8 y = 5

y = 1 8 5 - 6 x

Como a é unitário, sabemos que x 2 + y 2 = 1 , então vamos substituir y :

x 2 + 1 8 5 - 6 x 2 = 1

x 2 + 1 64 25 - 60 x + 36 x 2 = 1

64 x 2 + 25 - 60 x + 36 x 2 = 64

100 x 2 - 60 x - 39 = 0

x = - - 60 ± - 60 2 - 4 100 - 39 2 100 = 60 ± 19200 200

x = 60 ± 80 3 200 = 3 ± 4 3 10

x 1 ≈ - 0,39282

x 2 ≈ 0,99282

Show! Agora podemos encontrar os valores de y , substituindo x na relação que encontramos antes:

y 1 ≈   1 8 5 - 6 ( - 0,39282 ) ≈ 0,919615  

y 2 ≈   1 8 5 - 6 ( 0,99282 ) ≈ - 0,119615  

Então nossos dois vetores serão:

< - 0,39282 ,   0,919615 > e < 0,99282 ,   - 0,119615 >    

Resposta

28. < - 0,39282 ,   0,919615 > e < 0,99282 ,   - 0,119615 >    

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Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (b)Resolva x , y , z E = 3 , - 2,4 F .
Provar que os pontos A - 1 ,2 ,3 , B - 3 ,6 ,0 e C - 4 ,7 ,2 são vértices de um triângulo retângulo.
Dados os pontos A m ,1 ,0 , B m - 1 ,2 m ,2 e C 1 ,3 ,- 1 , determinar m de modo que o triângulo A B C seja retângulo em A . Calcular a área do triângulo.
Determinar o vetor u → tal que u → = 2 , sendo o ângulo entre u → e v → = 1 ,- 1 ,0 igual a 45 ° e u → seja ortogonal a w → = 1 ,1 ,0 .
Os vetores a → ,b → e c → são l . i . Determine uma base de V em relação à qual as coordenadas de a → , b → e c → são, respectivamente, 1,0 , 0 , ( 1,1 , 0 ) e 1,1 , 1 .