Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 10
Teste a convergência ou divergência da série:
10.
Passo 1
Fala, gente bonita! Tudo beleza?
A questão quer que nós testemos a série abaixo e analisar se ela converge ou diverge.
Analisando essa série, percebe que ela tá com uma carinha de função?
De todos os métodos para resolver séries, a que mais nos parece familiar é resolvê-la pelo Teste da Integral!
Vamos transformar essa série numa função para fins comparativos:
Passo 2
Antes de aplicarmos logo o “Teste da Integral”, vamos só confirmar se o nosso termo da série, quando entendido como uma função a ser integrada, é, de fato, contínuo, positivo e decrescente (essa é a condição para usarmos o Teste da Integral 😉).
Como o expoente é negativo, então eu inverti a posição do , tornando-se denominador:
Se você substituir por 1, vai perceber que:
Ou até mesmo por :
Vai perceber que, de fato, a função é positiva, contínua e decrescente, assim poderemos integrá-la.
Passo 3
Vamos calcular a série como se fosse uma integral . Assim:
Então:
Vamos resolver pelo método da substituição:
Seja , então , logo, , substituímos:
Viu que os limites de integração também mudaram? Isso porque se tornará na substituição e é negativo, então mudamos os limites para serem negativos também.
Gente, se , quando o denominador é infinito, então tende a zero!
Logo,
Passo 4
Opa! Chegamos ao valor de nossa integral. Mas agora que vem a bomba. Converge ou diverge?
Uma vez que a integral que a gente calculou resultou num número finito, logo ela converge!
Concluímos que:
Se é convergente, então também é convergente.
Caso a integral fosse divergente, então a série iria divergir também.