Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva

y = (2 * x^3 + x^2 + x + 3) / (x^2 + 2 * x)

Passo 1

Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??

“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?

A questão está pedindo para encontrar a equação da assíntota oblíqua da função dada:

y = 2 x 3 + x 2 + x + 3 x 2 + 2 x

Para encontrar a equação da assíntota oblíqua de uma função racional, precisamos considerar o comportamento da função quando x tende ao infinito.

A assíntota oblíqua ocorre quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o grau do denominador.

Passo 2

Teoria e Fórmulas:

Assíntotas Oblíquas: Se temos uma função racional da forma

f x = P x Q x

Onde o grau de P ( x ) é uma unidade maior que o grau de Q x , podemos determinar a assíntota oblíqua realizando a divisão polinomial de P ( x ) por Q ( x ) .

Divisão Polinomial: A divisão polinomial nos dará um quociente

y   =   a x   +   b  

(onde (   a   )   e   (   b   )   são coeficientes a serem determinados) e um resto R x . .

Para x tendendo ao infinito, a função y se aproxima do quociente da divisão.

Passo 3

Dado:

y = 2 x 3 + x 2 + x + 3 x 2 + 2 x

Precisamos encontrar a assíntota oblíqua dessa função.

Vamos realizar a divisão polinomial de

  2 x 3 +   x 2 +   x   +   3  

Por

x 2 +   2 x  

Passo 4

Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:

2 x 3 x 2 = 2 x

Multiplicamos 2 x   pelo divisor (   x 2 +   2 x   ) :

  2 x x 2 +   2 x =   2 x 3 +   4 x 2

Subtraímos o resultado obtido do numerador:

  2 x 3 +   x 2 +   x   +   3 -   2 x 3 +   4 x 2

=   - 3 x 2 +   x   +   3  

Passo 5

Repetimos o processo para o novo polinômio:

- 3 x 2 x 2 = - 3

Multiplicamos - 3 pelo divisor (   x 2 +   2 x   ) :

  - 3 x 2 +   2 x =   - 3 x 2 -   6 x  

Subtraímos o resultado obtido do polinômio anterior:

- 3 x 2 +   x   +   3 -   - 3 x 2 -   6 x =   7 x   +   3  

Agora, a divisão polinomial nos deu:

  2 x   -   3   + 7 x + 3 x 2 + 2 x

Passo 6

Relacionar a divisão polinomial com a assíntota oblíqua

Quando x tende ao infinito, o termo

7 x + 3 x 2 + 2 x

tende a zero.

Assim, a função y se aproxima da função linear:

  y   =   2 x   -   3  

“OK, isso foi legal.”

Resposta

Portanto, a equação da assíntota oblíqua é:

  y   =   2 x   -   3  

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