Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 73
Mostre que as retas e são assíntotas oblíquas da hipérbole .
Passo 1
E ai meus amores nessa questãozinha “Pegue o que puder, sem nada a devolver” okay?
O objetivo é mostrar que as retas
São assíntotas oblíquas da hipérbole dada pela equação
O que são assíntotas?
Assíntotas de uma curva são linhas retas que a curva se aproxima, mas nunca toca ou cruza a grandes valores de
No caso de uma hipérbole, as assíntotas oblíquas são linhas retas que a hipérbole se aproxima em ambas as direções conforme vai para
Passo 2
Para determinar as assíntotas de uma hipérbole, devemos olhar para a forma da equação da hipérbole:
À medida que tendem ao infinito, a parte constante da equação (o lado direito, que é igual a) se torna insignificante em comparação com os termos quadráticos.
Assim, para grandes valores de a equação pode ser aproximada por:
Isto pode ser rearranjado para:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Ou,
Isso nos diz que as assíntotas da hipérbole são as linhas
Passo 3
A equação da hipérbole dada é:
As retas que queremos verificar como assíntotas são:
Vamos verificar matematicamente que essas retas são realmente assíntotas da hipérbole.
Hipérbole dada:
Considerando
Substituímos por na equação da hipérbole:
Passo 4
Simplificando o segundo termo:
Este resultado mostra que a substituição leva a uma contradição, indicando que a hipérbole não coincide com a reta
mas se aproxima dela.
Isso confirma que
é uma assíntota.
Considerando
Substituímos por na equação da hipérbole:
Simplificando o segundo termo:
Passo 5
Novamente, a substituição leva a uma contradição, indicando que a hipérbole não coincide com a reta
Mas se aproxima dela.
Isso confirma que
é uma assíntota.
Portanto, as retas
são assíntotas oblíquas da hipérbole
Depois dessa questão, “Ninguém se mexe” Meu cérebro caiu.”
Haha bora pra proximaaaa
Resposta
Vide o passo a passo.