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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.3 - Ex. 48

Ache uma equação da circunferência satisfazendo as condições dadas:

Tangente à reta 3 ⋅ x + 4 ⋅ y - 16 = 0 em 4 ,   1 e com um raio de 5 (duas circunferências possíveis).

Passo 1

Sabendo que uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência, podemos descobrir a reta sobre a qual se encontra o centro da circunferência e assim teremos uma equação para descobrir as coordenadas do centro. Sabendo que o ponto dado pertence à circunferência, ou seja, satisfaz sua equação, encontramos a outra equação para resolver o sistema que dará as coordenadas do centro.

(Lembrando: uma reta com equação reduzida y = m ⋅ x + n possui infinitas retas perpendiculares a ela e todas com inclinação m ’ = - 1 m .)

Passo 2

Primeiro , vamos reescrever a equação da reta na forma reduzida para descobrir seu coeficiente angular.

3 ⋅ x + 4 ⋅ y - 16 = 0

3 ⋅ x - 16 = - 4 ⋅ y

y = - 3 4 ⋅ x + 4

Logo, temos que m = - 3 4 e m ’ = - 1 - 3 4 = 4 3 .

Passo 3

Tendo a inclinação m de uma reta e um ponto P x P ,   y P por onde ela passa, podemos descobrir a equação reduzida dela fazendo y = m ⋅ x - x P + y P , então a equação da reta que contém o centro é

y = 4 3 ⋅ x - 4 + 1

y = 4 3 ⋅ x - 16 3 + 1

y = 4 3 ⋅ x - 13 3

E como o centro pertence à reta, podemos escrever que y 0 = 4 3 ⋅ x 0 - 13 3 .

Passo 4

Sabendo que 4 ,   1 pertence à circunferência x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 e que r = 5 , temos

4 - x 0 2 + 1 - y 0 2 = 5 2

Passo 5

Resolvendo o sistema

y 0 = 4 3 ⋅ x 0 - 13 3 4 - x 0 2 + 1 - y 0 2 = 5 2

Substituindo a primeira na segunda, temos

4 - x 0 2 + 1 - 4 3 ⋅ x 0 - 13 3 2 = 5 2

4 - x 0 2 + 16 3 - 4 3 ⋅ x 0 2 = 5 2

16 - 8 ⋅ x 0 + x 0 2 + 256 9 - 128 9 ⋅ x 0 + 16 9 ⋅ x 0 2 = 25

25 9 ⋅ x 0 2 - 200 9 ⋅ x 0 + 175 9 = 0

x 0 2 - 8 ⋅ x 0 + 7 = 0

x 0 = 8 ± 8 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 7 2 = 4 ± 36 2 = 4 ± 3

x 0 = 7 ∨ x 0 = 1

Pela primeira equação, temos que

x 0 = 7 ⇒ y 0 = 4 3 ⋅ 7 - 13 3 = 5

x 0 = 1 ⇒ y 0 = 4 3 ⋅ 1 - 13 3 = - 3

Resposta

x - 7 2 + y - 5 2 = 25

OU

x - 1 2 + y + 3 2 = 25

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