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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.5 - Ex. 46

Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.

46-

Hipérbole, focos ( 2 , - 2 ) e ( 2,8 ) , vértices ( 2,0 ) e ( 2,6 )

Passo 1

Olá, meu querido e nobre amigo. Deveremos encontrar a equação da hipérbole aqui.

Ela deve ter os focos em:

2 , - 2   ; ( 2,8 )

E deve ter os vértices em:

2,0   ; 2,6

O nosso ponto de centro pode ser calculado da seguinte forma:

x 0 , y 0 = 2 , - 2 + 8 2 = ( 2,3 )

Pelos pontos de vértice e de foco conseguimos deduzir que a hipérbole é uma hipérbole vertical pelos pontos estarem na reta x = 2 .

O que nos dá uma equação característica igual a:

( y - y 0 ) 2 a 2 - ( x - x 0 ) 2 b 2 = 1

Onde:

c 2 = a 2 + b 2

Passo 2

Com esse resultado já podemos obter os valores de c e de a

Começando pelos pontos de foco nós teremos o valor de c :

3 - c = - 2

3 + c = 8

c = 5

E pelos pontos de vértice encontramos o valor de a :

3 - a = 0

3 + a = 6

a = 3

Logo o valor de b será:

c 2 = a 2 + b 2

b 2 = 5 2 - 3 2

b 2 = 16

Logo a equação será:

( y - 3 ) 2 9 - ( x - 2 ) 2 16 = 1

Resposta

( y - 3 ) 2 9 - ( x - 2 ) 2 16 = 1

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9-16. (a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) dê uma equação da diretriz e (d) esboce a cônica. r = 4 5 - 4 . s e nθ
1.8. Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.3. Hipérbole, excentricidade 1,5 , diretriz y = 2 .
Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico: x 2 2 + y 2 4 = 1
Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico: x 2 36 + y 2 8 = 1
Identifique o tipo de seção cônica a qual a equação é dada e encontre os vértices e os focos: 4 x 2 = y + 4