Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas:

Elipse, focos (± 2,0) , passando por (2,1)

Passo 1

Fala ai! Partiu resolver uma questãozinha juntos?

1- Vamos identificar o centro da Elipse.

2- Calcular a distância entre os Focos.

3- Vamos usar a equação fundamental da Elipse, substituindo todos os termos.

Pegou a visão? Vamos então começar!

Passo 2

Por ter focos em ( ± 2,0 ) conseguimos tirar todas as informações importantes dessa elipse, conseguimos dizer que a elipse tem centro na origem, que a elipse tem eixo maior na horizontal e que tem valor de c = 0 .

Sendo assim, vamos usar a equação dê:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Passo 3

Utilizamos o teorema de Pitágoras

b 2 = 2 2 + a 2

b 2 = 4 + a ²

Já que para a termos um eixo maior na horizontal o valor de b nessa equação deverá ser a maior.

Passo 4

Já que a elipse passa por ( 2,1 ) , substituindo o ponto em x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1   e b 2 = 4 + a ² , teremos a seguinte equação:

4 4 + a 2 + 1 a 2 = 1

Onde:

4 4 + a 2 = 1 - 1 a 2

Resolvendo o MMC do lado esquerdo da equação

4 4 + a 2 = a 2 - 1 a 2

4 a 2 = ( a 2 - 1 ) ( 4 + a 2 )

4 a 2 = 4 a 2 - 4 + a 4 - a 2

a 4 - a 2 - 4 = 0

Substituindo a 2 = x , nós teremos:

x 2 - x - 4 = 0

Passo 5

Para a = 1 ,   b = - 1 e c = 4 . Resolvemos a equação de Bhaskara para encontrarmos as raízes.

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = 1 ± 17 2

Porém x = a 2 então não podemos ter valores negativos de x logo:

a 2 = 1 + 17 2

E substituindo em b 2 = 4 + a ² , temos

b 2 = 4 + 1 + 17 2

b ² = 9 + 17 2

Logo a equação da elipse ficará da seguinte forma:

y 2 1 + 17 2 + x 2 9 + 17 2 = 1

Resposta

2 y 2 1 + 17 + 2 x 2 9 + 17 = 1

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