Ache a equação da reta normal à hipérbole 4 x 2 - 3 y 2 = 24 no ponto 3 ,   2 .

Passo 1

Para acharmos a equação da reta normal temos que antes achar o coeficiente angular da reta tangente à hipérbole, para isso vamos realizar uma derivação implícita na expressão. Assim temos:

d 4 x 2 - 3 y 2 d x = d 24 d x

8 x - 6 y y ' = 0

Passo 2

Agora vamos aplicar o ponto dado no enunciado na derivada que encontramos, o valor encontrado representa o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto m .

8 3 - 6 2 y ( 3 ,     2 ) ' = 0

24 - 12 y ( 3 ,     2 ) ' = 0

y ( 3 ,     2 ) ' = - 2 4 - 12 =   2

Passo 3

A reta tangente e a reta normal são perpendiculares, desta forma podemos aplicar a seguinte fórmula.

m n ∙ m t g = - 1

m n ∙ 2 = - 1

m n = - 1 2

Passo 4

Tendo um ponto e o coeficiente angular da reta normal podemos montar a equação da reta tangente.

m n = - 1 2

y - 2 =   - 1 2 ∙ x - 3

2 y - 2 = - x + 3

2 y - 4 = - x + 3

x + 2 y - 7 = 0

Resposta

x + 2 y - 7 = 0

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