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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 9

Ache a derivada da função dada.

h (t) = 2 cos sqrt(t)

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a derivada da função usando tudo que já sabemos das regras de derivação incluindo a derivada das funções potência:

(t^r)^' = r t^(r - 1) , s e r != 0

A função cosseno não tem nenhuma restrição no seu domínio, então o domínio de h é o domínio de sqrt(t) , isto é, t >= 0 .

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para os valores de t no domínio de h , temos que

h^' (t) = - 2 s e n sqrt(t) * (sqrt(t))^'

Para calcular a derivada da raiz quadrada, vamos usar a regra do tombo:

(sqrt(t))^' = (t^((1)/(2)))^' = (1)/(2) t^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) t^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(t))

Portanto, agora devemos adicionar a restrição t != 0 , de modo que a derivada vale apenas para t > 0 . Assim,

h^' (t) = - 2 s e n sqrt(t) * (1)/(2 sqrt(t)) = (s e n sqrt(t))/(sqrt(t))

Resposta

h^' (t) = (s e n sqrt(t))/(sqrt(t))

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