Calcule o comprimento do segmento de reta y = 3 x do ponto ( 1 ,   3 ) ao ponto ( 2 ,   6 ) por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.

Passo 1

A questão pede para acharmos o comprimento da reta y = 3 x entre os pontos ( 1 ,   3 ) e ( 2 ,   6 ) de três formas diferentes: distância entre pontos, fórmula do comprimento de curva integrando em x e integrando em y . No item (a) vamos usar a distância entre pontos:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Assim,

d = 2 - 1 2 + 6 - 3 2 = 1 + 9 = 10

Passo 2

Para o item (b) vamos usar a fórmula

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, como y ' = 3 , temos que

L = ∫ 1 2 1 + 3 2   d x = 10 ∫ 1 2 d x = 10

Passo 3

Por fim, fazendo a integração em y :

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Como x = 1 3 y , segue que x ' = 1 3 :

L = ∫ 3 6 1 + 1 9   d y = 10 3 ∫ 3 6 d y = 10

Resposta

10

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