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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 57 c

underset(x -> 2^-)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2)

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 2 pela direita, ou seja, x < 2 .

Perceba que se aplicarmos o limite

underset(x -> 2^-)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2) = (0)/(0)

Ou seja, uma indeterminação. Quando isso acontece, temos que nos virar para ajeitar a função para valor de x != 2 , de modo que a indeterminação não aconteça mais.

Passo 2

Perceba que, usando Bháskara em x^2 - 3 x + 2 , teremos que x = 2 e x = 1 são raízes, então reescreveremos x^2 - 3 x + 2 = (x - 2) (x - 1) .

E, colocando x^2 em evidência no denominador, ou seja x^2 ( x - 2 ) , temos que x^3 - 2 x^2 = x^2 ( x - 2 ) .

Substituindo as igualdades lá no limite,

underset(x -> 2^-)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2) = underset(x -> 2^-)(l i m) ((x - 2) (x - 1))/(x^2 (x - 2))

Passo 3

Cancelando o fator em comum no numerador com o denominador, nosso limite fica

underset(x -> 2^-)(l i m) ((x - 2) (x - 1))/(x^2 (x - 2)) = underset(x -> 2^-)(l i m) (( x - 1 ))/(x^2)

Passo 4

Substituindo o limite,

underset(x -> 2^-)(l i m) ((x - 2) (x - 1))/(x^2 (x - 2)) = underset(x -> 2^-)(l i m) (( x - 1 ))/(x^2) = (1)/(4)

Resposta

underset(x -> 2^-)(l i m) ((x - 2) (x - 1))/(x^2 (x - 2)) = (1)/(4) ; x != 2

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