Determine o limite de cada função a) lim (x^2 - 3x + 2) / (x^3 - 2x^2) quando x → 0

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 .

Perceba que se aplicarmos o limite

l i m x → 0 - x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2

O numerador nos resulta 2, enquanto o denominador se anula . Quando isso acontece, nosso limite tende à .

Passo 2

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Perceba que, usando Bháskara em x 2 - 3 x + 2 , teremos que   x = 2   e   x = 1 são raízes, então reescreveremos x 2 - 3 x + 2 =   x - 2 x - 1 .

E, colocando x 2 em evidência no denominador, ou seja x 2 ( x - 2 ) , temos que x 3 - 2 x 2 =   x 2 ( x - 2 ) .

Substituindo as igualdades lá no limite,

l i m x → 2 - x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2 =   l i m x → 2 - x - 2 x - 1 x 2 x - 2

Passo 3

Cancelando o fator em comum no numerador com o denominador, nosso limite fica

l i m x → 2 - x - 2 x - 1 x 2 x - 2 =   l i m x → 2 - ( x - 1 ) x 2

Passo 4

Como se aproxima de 0 , o numerador resultante é negativo, já no denominador ficaríamos com 2 > 0 multiplicado por um número positivo, devido ao termo x 2 . Ou seja,

n e g a t i v o p o s i t i v o ⋅ p o s i t i v o = n e g a t i v o ⋅ p o s i t i v o = n e g a t i v o

Resposta

l i m x → 0 x 2 - 3 x + 2 x 3 - 2 x 2 = - ∞

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