Determine o limite de cada função a) lim (x^2 - 3x + 2) / (x^3 - 4x) quando x → 0^(-)

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, x < 0 .

Perceba que se aplicarmos o limite

l i m x → 0 - x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x

O numerador nos resulta 2, enquanto o denominador se anula . Quando isso acontece, nosso limite tende à .

Passo 2

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Perceba que, usando Bháskara em x 2 - 3 x + 2 , teremos que   x = 2   e   x = 1 são raízes, então reescreveremos x 2 - 3 x + 2 =   x - 2 x - 1 .

E, colocando x em evidência no denominador, ou seja x ( x 2 - 4 ) , temos que x 3 - 4 x =   x x 2 - 4 . Usando Bháskara em x 2 - 4 , temos que x 3 - 4 x =   x x - 2 x + 2 .

Substituindo as igualdades lá no limite,

l i m x → 0 - x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x =   l i m x → 0 - x - 2 x - 1   x ( x + 2 ) x - 2

Passo 3

Cancelando o fator em comum no numerador com o denominador, nosso limite fica

l i m x → 0 - x - 2 x - 1 x ( x + 2 ) x - 2 =   l i m x → 0 - ( x - 1 ) x ( x + 2 )

Passo 4

Como se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, x < 0 , o numerador assume valores negativos, já no denominador ficaríamos com 2 > 0 multiplicado por um número negativo. Ou seja,

n e g a t i v o n e g a t i v o ⋅ p o s i t i v o = n e g a t i v o n e g a t i v o = p o s i t i v o

Resposta

l i m x → 0 - x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x = ∞

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