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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 58 c

Determine o limite de cada função a) l i m (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 4 x) quando x -> 0^-

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, x < 0 .

Perceba que se aplicarmos o limite

underset(x -> 0^-)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 4 x)

O numerador nos resulta 2, enquanto o denominador se anula . Quando isso acontece, nosso limite tende à oo .

Passo 2

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Perceba que, usando Bháskara em x^2 - 3 x + 2 , teremos que x = 2 e x = 1 são raízes, então reescreveremos x^2 - 3 x + 2 = (x - 2) (x - 1) .

E, colocando x em evidência no denominador, ou seja x ( x^2 - 4 ) , temos que x^3 - 4 x = x (x^2 - 4) . Usando Bháskara em x^2 - 4 , temos que x^3 - 4 x = x (x - 2) (x + 2) .

Substituindo as igualdades lá no limite,

underset(x -> 0^-)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 4 x) = underset(x -> 0^-)(l i m) ((x - 2) (x - 1))/(x ( x + 2 ) (x - 2))

Passo 3

Cancelando o fator em comum no numerador com o denominador, nosso limite fica

underset(x -> 0^-)(l i m) ((x - 2) (x - 1))/(x ( x + 2 ) (x - 2)) = underset(x -> 0^-)(l i m) (( x - 1 ))/(x ( x + 2 ))

Passo 4

Como se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, x < 0 , o numerador assume valores negativos, já no denominador ficaríamos com 2 > 0 multiplicado por um número negativo. Ou seja,

(n e g a t i v o)/(n e g a t i v o * p o s i t i v o) = (n e g a t i v o)/(n e g a t i v o) = p o s i t i v o

Resposta

underset(x -> 0^-)(l i m) (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 4 x) = oo

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