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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 20

Ache o limite

underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - 2 x + 5)/(7 x^3 + x + 1)

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para oo .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

(x^2 - 2 x + 5)/(7 x^3 + x + 1)

Passo 2

O nosso numerador é

x^2 - 2 x + 5

Colocando x^2 em evidência

x^2 (1 - (2)/(x) + (5)/(x^2))

Passo 3

O nosso denominador vai ser

7 x^3 + x + 1

Colocando x^3 em evidência

x^3 (7 + (1)/(x^2) + (1)/(x^3))

Passo 4

A nossa fração vai ficar

(x^2 - 2 x + 5)/(7 x^3 + x + 1) = (x^2 (1 - (2)/(x) + (5)/(x^2)))/(x^3 (7 + (1)/(x^2) + (1)/(x^3))) = (1 - (2)/(x) + (5)/(x^2))/(x (7 + (1)/(x^2) + (1)/(x^3)))

Agora, vamos tomar o limite

underset(x -> + oo)(lim) (x^2 - 2 x + 5)/(7 x^3 + x + 1) = underset(x -> + oo)(lim) (1 - (2)/(x) + (5)/(x^2))/(x (7 + (1)/(x^2) + (1)/(x^3)))

Lembrando que o limite de um número sobre oo é sempre 0 , vamos ter

underset(x -> + oo)(lim) (1 - (2)/(x) + (5)/(x^2))/(x (7 + (1)/(x^2) + (1)/(x^3))) = (1 - 0 + 0)/(+ oo (7 + 0 + 0)) = (1)/(+ oo) = 0

Resposta

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