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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 12

Ache os números críticos da função dada.

f (x) = (x + 1)/(x^2 - 5 x + 4)

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que f^' (x) = 0 ou que f ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

Antes de derivarmos f precisamos olhar para o seu domínio:

x^2 - 5 x + 4 != 0 => (x - 4) (x - 1) != 0 => x != 1 e x != 4

Assim, D_f = {x in R| x != 1 e x != 4 } . Derivando f pela regra da cadeia:

f^' (x) = ((x + 1)^' (x^2 - 5 x + 4) - (x + 1) ( x^2 - 5 x + 4 ) ')/((x^2 - 5 x + 4)^2)

Portanto,

f^' (x) = (x^2 - 5 x + 4 - ( 2 x^2 - 3 x - 5 ))/((x - 1)^2 (x - 4)^2) = (- x^2 - 2 x + 9)/((x - 1)^2 (x - 4)^2) = - (x^2 + 2 x - 9)/((x - 1)^2 (x - 4)^2)

Passo 2

Como os pontos que zeram o denominador de f ' não estão no domínio de f , não podem ser considerados pontos críticos de f . Igualando f ' a zero:

x^2 + 2 x - 9 = 0

Assim,

x = (- 2 +- sqrt(4 + 36))/(2) = - 1 +- sqrt(10)

Desta forma, os pontos críticos de f são x = - 1 +- sqrt(10) .

Resposta

x = - 1 +- sqrt(10)

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