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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 10

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = 5 - 3 x 2 + x 3

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

f x = 5 - 3 x 2 + x 3

O enunciado é bem direto e nos pede primeiro para encontramos os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

Para isso, temos que analisar o sinal da derivada f ' x .

Depois, queremos encontrar os valores máximo e mínimo local de f .

Para isso, devemos analisar os pontos em que o sinal da derivada irá se alterar.

Por fim, queremos encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Para isso, devemos fazer a segunda derivar e analisar o seu sinal por todo o seu domínio.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

  1. Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:

    2. f ' x = 5 - 3 x 2 + x 3 '

    Vamos usar as regras de derivação da função constante, da multiplicação por constante e do polinômio:

    c ' = 0

    k f x ' = k f ' ( x )

    x n ' = n x n - 1

    Passo 2

    Vamos agora aplicar:

    f ' ( x ) = 5 - 3 x 2 + x 3 ' = 0 - 3.2 . x 2 - 1 + 3 . x 3 - 1 = - 6 x + 3 x 2 = 3 x - 2 + x

    Passo 3

  2. Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto. Vemos que em x = 0 e x = 2 há mudança do sinal de f ' , e como em x = 0 o sinal muda de positivo para negativo, esse é um ponto de máximo local, já em x = 2 o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.

    3. Para achar os valores é só substituir os valores em f :

    f 0 = 5 - 3 . 0 2 + 0 3 = 5

    f 2 = 5 - 3 . 2 2 + 2 3 = 1

    Passo 4

  3. Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal:

f ' ' x = - 6 x + 3 x 2 ' = - 6 x 1 - 1 + 3.2 . x 2 - 1 = - 6 + 6 x = 6 - 1 + x

Para achar os pontos de inflexão devamos fazer f ' ' x = 0 :

f ' ' x = 6 - 1 + x = 0 → x = 1

Para garantir que x = 1 é ponto de inflexão, devemos ver se f ( 1 ) existe:

f 1 = 5 - 3 . 1 2 + 1 3 = 3

Temos que o ponto de inflexão é 1,3 .

Resposta

  1. Crescente em - ∞ , 0 e em 2 , ∞ e decrescente em 0,2
  2. f 0 = 5 é máximo local e f ( 2 ) = 1 é mínimo local
  3. Concavidade para baixo em - ∞ , 1 e para cima em 1 , ∞ e ponto de inflexão é 1,3
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Determine os valores das constantes a e b de modo que f x = a x 2 + b x tenha um máximo absoluto no ponto (1, 2).
Onde a função periódica f x = 2 e s e nx 2 assume seus valores extremos, e que valores são esses?
Prove que e x ≥ 1 + x se x ≥ 0 . Use o resultado do item (a) para provar que e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2
Determine o valor máximo absoluto de f x = x 2 ln ⁡ 1 x e indique onde a função assume esse valor.
Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (8) G x = ( x - 5 ) 2 / 3 ; ( - ∞ , ∞ ) .