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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 11

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x 4 - 2 x 2 + 3

Passo 1

Fala aí! Bora ver o que essa questão quer da gente?!

O enunciado nos da uma função f x = x 4 - 2 x 2 + 3   e pede algumas coisas em relação a ela:

  1. Os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Os valores máximo e mínimos locais de f .
  3. Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Pra isso a gente vai usar as derivadas primeira e segunda da função f ( x ) . Vamos nessa?!

Passo 2

Para encontrar onde f é crescente ou decrescente vamos calcular a primeira derivada de f :

f x = x 4 - 2 x 2 + 3

f ' x = 4 x 3 - 2 2 x

f ' x = 4 x 3 - 4 x

Se a derivada de uma função é positiva é sinal que ela é crescente, derivada negativa a função é decrescente!

Então precisamos analisar os sinais da derivada, para facilitar nossa vida podemos dar uma manipulada em f ' ( x ) :

f ' x = 4 x x 2 - 1

f ' x = 4 x x - 1 x + 1

Agora sim! Vamos fazer uma tabelinha:

Passo 3

Para responder a letra (b) precisamos achar os pontos máximos e mínimos locais de f ( x ) .

Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto. A tabelinha que fizemos acima já nos da uma boa dica, só precisamos olhar quando a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente e vice e versa! Assim temos:

x = - 1

x = 0

x = 1

Em x = - 1 , x = 0 e x = 1 há mudança do sinal de f ' , e como em x = 0 o sinal muda de positivo para negativo, esse é um ponto de máximo local, já em x = 1 e x = - 1 o sinal muda de negativo para positivo, então são pontos de mínimo local.

Para achar os valores é só substituir os valores em f :

f 0 = 0 4 - 2 . 0 2 + 3 = 3

f 1 = 1 4 - 2 . 1 2 + 3 = 2

f - 1 = - 1 4 - 2 . - 1 2 + 3 = 2

Passo 4

Agora a letra (c), aqui precisamos achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal:

f ' x = 4 x 3 - 4 x

f ' ' x = 4 3 x 2 - 4

f ' ' x = 12 x 2 - 4

Dando aquela arrumadinha:

f ' ' x = 4 3 x 2 - 1

Para analisarmos o sinal de 3 x 2 - 1 calculamos suas raízes:

3 x 2 - 1 = 0

x 2 = 1 3

x = ± 1 3 = ± 1 3

Se f ' ' x é positivo então a concavidade de f ( x ) esta pra cima, caso contrátrio ela estará pra baixo! Agora sim, vamos a tabelinha:

Para achar os pontos de inflexão devamos fazer f ' ' x = 0 :

f ' ' x = 4 3 x 2 - 1 = 0 → x = ± 1 3

Para garantir que x = ± 1 3 é ponto de inflexão, devemos ver se f ( ± 1 3 ) existe:

f ± 1 3 = - 1 3 4 - 2 . - 1 3 2 + 3 = 22 9

Temos que o ponto de inflexão é ± 1 3 , 22 9 .

Prontinho!

Resposta

  1. Decrescente em - ∞ , - 1 e 0,1 , crescente em - 1,0 e 1 , ∞
  2. f 0 = 3 é máximo local e f ( 1 ) = 2 e f - 1 = 2 são mínimo local
  3. Concavidade para baixo em - 1 3 , 1 3 e para cima em - ∞ , - 1 3 e em 1 3 , ∞ e ponto de inflexão é ± 1 3 , 22 9
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