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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 17

a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

b) Encontre os valores máximo e mínimo local de f .

c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = ln ⁡ x x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dado a função

f x = ln ⁡ x x

E nosso objetivo é encontrar os intervalos onde essa função é crescente e decrescente, os valores de máximo e mínimo e tambem os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Lembra como fazemos isso?

Para obter os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, temos que calcular f ' x e analizar os intervalos onde f ' x > 0 (crescente) e f ' x < 0 (decrescente).

Para determinar os valores de máximos e mínimos, fazemos f ' x = 0 e analisamos os resultados.

E por fim, para determinar as concavidades calculamos f ' ' x e fazemos f ' ' x > 0 (concavidade para cima), f ' ' x < 0 (concavidade para baixo) e f ' ' x = 0 (ponto de inflexão).

Bora lá!

Passo 2

a) Primeiro vamos dar uma ajeitada nessa expressão:

f x = ln ⁡ x x = ln ⁡ x x 1 2

Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:

f ' x = ln ⁡ x x 1 2 '

Veja só!

Passo 3

Vamos agora aplicar:

f ' x = ln ⁡ x x 1 2 '

Como se tratra de uma divisão entre duas funções, vamos usar a regra do quociente para fazer essa derivada. Assim, faremos:

f x = u v

E

f ' x = u ' v - u v ' v 2

Onde

u = ln ⁡ x

Com

u ' = 1 x

E

v = x 1 2

Com

v ' = 1 2 x - 1 2

Então a derivada será:

f ' x = 1 x ⋅ [ t   x 1 2 - ln ⁡ x ⋅ 1 2 ⋅ x 1 2 - 1 x 2 2

Que pode ser escrita como:

f ' x = 1 x 1 2 - ln ⁡ x ⋅ 1 2 ⋅ x - 1 2 x 2 2

Simplificando...

f ' x = 1 x - ln ⁡ x 2 x x

E racionalizando

f ' x = 1 x - ln ⁡ x 2 x x ⋅ 2 x 2 x

Ficamos com:

f ' x = 2 - ln ⁡ x 2 x 3 2 = 0

Dessa forma, temos

2 - ln ⁡ x = 0 → ln ⁡ x = 2 → x = e 2

Tranquilo até aqui?

Passo 4

b) Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto. Vemos que em x = e 2 há mudança do sinal de f ' , e como em x = e 2 o sinal muda de positivo para negativo, então ele é um ponto de máximo local.

Para achar os valores é só substituir os valores em f :

f e 2 = ln ⁡ e 2 e 2 = 2 e

Show?

Passo 5

c) Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal:

f ' ' x = 2 - ln ⁡ x 2 x 3 2 '

Aqui usaremos novamente a regra do quociente, onde:

f x = u v

E

f ' x = u ' v - u v ' v 2

Onde

u = 2 - ln ⁡ x

Com

u ' = - 1 x

E

v = 2 x 3 2

Com

v ' = 3 x 1 2

Assim;

f ' ' x = - 1 x ⋅ 2 x 3 2 - 2 - ln ⁡ x ⋅ 3 x 3 2 - 1 4 x 3.2 2

Simplificando...

f ' ' x = - 2 x - 3 x 2 - ln ⁡ x 4 x 3

f ' ' x = x - 2 - 6 + 3 ln ⁡ x 4 x 3

f ' ' x = 3 ln ⁡ x - 8 4 x 5 2 = 0

Logo...

3 ln ⁡ x = 8 → x = e 8 3

Para garantir que x = e 8 3 é ponto de inflexão, devemos ver se f ( e 8 3 ) existe:

f e 8 3 = ln ⁡ e 8 3 e 8 3 = 0,70

Temos que o ponto de inflexão é e 8 3   ,   0,70 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a) Decrescente em e 2 , ∞ e crescente em 0 , e 2

b) f e 2 = 2 e é máximo local

c) Concavidade para baixo em 0 , e 8 3 e para cima em e 8 3 , ∞ e ponto de inflexão é e 8 3   ,   0,70

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