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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 24

24. A medida da densidade linear em um ponto de uma barra varia diretamente coma a quarta potenência da medida da distância do ponto a um extremo. O comprimento da barra é de 2 m e a densidade linear é 2 kg/m no centro. Se a massa total for 64 5 , ache o centro de massa da barra.

Passo 1

O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.

O exercício nos diz que a densidade varia com a quarta potência da distância, ou seja, ela pode ser escrita da seguinte forma:

ρ x = k x 4

onde x é a medida da distância em relação ao começo da barra.

Passo 2

Para encontrar a função que descreve a densidade precisamos descobrir qual o valor da constante k . Para isso o exercício nos fornece as seguinte informação:

  1. A densidade linear no centro da barra é 2 kg/m, ou seja , ρ 2 = 2 . Com isso podemos descobrir a contante.

2 = k 1 4

k = 2

Agora basta substituir k na função e obtemos o comportamento da densidade linear:

ρ x = 2 x 4

Passo 3

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = 2 ∫ 0 2 x ( x 4 ) d x 64 5

x - = 2 ∫ 0 2 ( x 5 ) d x 64 5

x - = 2 x 6 6 | 0 2 64 5

x - = 1 3 2 6 64 5

x - = 8 3 m

Resposta

Centro de massa: 8 3 m

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