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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 29

Ache (d y)/(d x)

x sen y + x^3 = tg^(- 1) y

Passo 1

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y (x)

Então quando derivarmos y , temos que colocar = y^' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com x sen y + x^3 ,

(x sen y + x^3)^' = (x sen y)^' + (x^3)^' = (x sen y)^' + 3 x^2

Para aquele primeiro termo, devemos fazer a regra do produto:

(x sen y)^' = (x)^' sen y + x (sen y)^' = sen y + x cos y y^'

Não podemos esquecer o y^' quando derivamos o sen y

O lado esquerdo vai ficar:

(x sen y + x^3)^' = sen y + x cos y y^' + 3 x^2

Passo 2

Vamos para o outro lado

(tg^(- 1) x)^' = (1)/(1 + x^2)

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

sen y + x cos y y^' + 3 x^2 = (1)/(1 + x^2)

Vamos isolar o y^'

x cos y y^' = (1)/(1 + x^2) - 3 x^2 - sen y

Vamos passar o x cos y dividindo para o outro lado.

y^' = (1)/(x cos y) ((1)/(1 + x^2) - 3 x^2 - sen y)

Resposta

y^' = (1)/(x cos y) ((1)/(1 + x^2) - 3 x^2 - sen y)

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